¿Algún polinomio que sea difícil de contar pero fácil de decidir?

Cada circuito aritmético monótono , es decir, un circuito , calcula algunos polinomios multivariados con coeficientes enteros no negativos. Dado un polinomio , el circuito $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $f(x_1,\ldots,x_n)$

calcula si cumple para todos ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in \mathbb{N}^n$
cuenta si cumple para todos ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in\{0,1\}^n$
decide si exactamente cuando cumple para todo . $f$ $F(a)>0$ $f(a)>0$ $a\in\{0,1\}^n$

Sé que los polinomios explícitos (incluso multilineales) muestran que la brecha del tamaño del circuito "calcula / cuenta" puede ser exponencial. Mi pregunta se refiere a la brecha "cuenta / decide". $f$

Pregunta 1: ¿Alguien sabe de algún polinomio que sea exponencialmente más difícil de contar que decidir por -circuitos? $f$ $\{+,\times\}$

Como posible candidato, uno podría tomar el polinomio PATH cuyas variables corresponden a los bordes del gráfico completo en , y cada monomio corresponde a una ruta simple desde el nodo al nodo en . Este polinomio puede decidirse por un circuito de tamaño implementa, digamos, el algoritmo de programación dinámica Bellman-Ford, y es relativamente fácil demostrar que cada computación de circuito $K_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $1$ $n$ $K_n$ $O(n^3)$ $\{+,\times\}$ La RUTA debe tener un tamaño de . $2^{\Omega(n)}$

Por otro lado, cada circuito de conteo resuelve PATH el problema del camino, es decir, cuenta el número de -a-- caminos en el especificado por el correspondiente - subgrafo de entrada de . Este es un problema llamado P -complete . Entonces, todos "creemos" que PATH no puede tener ningún circuito contable de tamaño polinómico. El "único" problema es demostrar esto ... $\#$ $1$ $n$ $0$ $1$ $K_n$ $\#$ $\{+,\times\}$

Puedo demostrar que cada circuito cuenta un HP polinomial de ruta hamiltoniana relacionado requiere un tamaño exponencial. Los monomios de este polinomio corresponden a rutas de en contienen todos los nodos. Desafortunadamente, la reducción de HP a PATH por Valiant requiere calcular el inverso de la matriz de Vandermonde y, por lo tanto, no puede implementarse mediante un circuito . $\{+,\times\}$ $1$ $n$ $K_n$ $\#$ $\#$ $\{+,\times\}$

Pregunta 2: ¿Alguien ha visto una reducción monótona de HP a PATH? $\#$ $\#$

Y finalmente:

Pregunta 3: ¿Se consideró en absoluto una "versión monótona" de la clase P ? $\#$

NB Tenga en cuenta que estoy hablando de una clase muy restringida de circuitos: ¡circuitos aritméticos monótonos ! En la clase de circuitos , sería injusto preguntar en absoluto la pregunta 1: no hay límites inferiores mayores que para tales circuitos, incluso cuando sea necesario para calcular un polinomio dado en todos se conocen entradas en . Además, en la clase de tales circuitos, un "análogo estructural" de la Pregunta 1: ¿hay P -polinomios completos que se pueden decidir por tamaño de polietileno $\{+,-,\times\}$ $\Omega(n\log n)$ $\mathbb{R}^n$ $\#$ -circuitos? - Tiene una respuesta afirmativa. Tal es, por ejemplo, el polinomio permanente PER . $\{+,-,\times\}$ $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

AGREGADO: Tsuyoshi Ito respondió la pregunta 1 con un truco muy simple. Aún así, las preguntas 2 y 3 permanecen abiertas. El estado de conteo de PATH es interesante en sí mismo, tanto porque es un problema DP estándar como porque es # P-complete.

— Stasys
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En cuanto a la pregunta 1, ¿qué hay de sumar 1 a un polinomio que es difícil de contar?

— Tsuyoshi Ito

Sus tres preguntas parecen lo suficientemente distintas como para que sean tres preguntas separadas.

— David Richerby

Me temo que no puede evitar ejemplos triviales simplemente prohibiendo constantes en circuitos aritméticos. ¿Qué tal agregar x_1 +… + x_n a un polinomio difícil de contar que toma 0 en el origen? (Además, si prohíbe constantes, no puede representar un polinomio que toma un valor distinto de cero en el origen.)

— Tsuyoshi Ito

'Como en la "teoría #P", bajo "decisión" queremos decir "¿hay al menos una solución". Y las constantes no son soluciones (por lo general). Ya sabes, estás en una pendiente resbaladiza aquí. Considere una contraparte #P de la Pregunta 1: dé un ejemplo de relaciones R∈FNP de modo que #R sea # P-completo pero es fácil decidir si #R (x)> 0 o no. Podemos sentir la tentación de decir Matching, pero esto es una exageración. Agregar una solución trivial a 3SAT funciona bien, y mi comentario anterior es análogo a esto. (más)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi Ito: Bueno, tu simple truco (agregar la suma de todas las variables a un polinomio difícil de contar) en realidad responde a la pregunta 1 (en la forma en que se indicó). ¿Podría ponerlo como respuesta?

— Stasys

(Estoy publicando mis comentarios como respuesta en respuesta a la solicitud del OP).

En cuanto a la Pregunta 1, dejemos que f _n : {0,1} ⁿ → ℕ sea una familia de funciones cuyo circuito aritmético requiere un tamaño exponencial. Entonces también lo hace f _n +1, pero f _n +1 es fácil de decidir por un circuito aritmético monótono trivial. Si prefiere evitar constantes en los circuitos aritméticos monótonos, entonces f _n : {0,1} ⁿ → ℕ sea una familia de funciones de modo que el circuito aritmético para f _n requiera un tamaño exponencial y f _n (0, ..., 0) = 0, y considere f _n + x ₁ +… + x _n .

— Tsuyoshi Ito
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