Estoy buscando una buena encuesta sobre algoritmos y complejidad del álgebra lineal (operaciones como rango, inverso, valores propios, ... para matrices booleanas, y enteros / racionales) con énfasis en paralelo ( jerarquía ) y algoritmos polytime. No pude encontrar uno reciente. NC
¿Conoces una buena encuesta reciente o libro sobre la complejidad del álgebra lineal?
Respuestas:
Dos referencias que puede encontrar útiles:
D. Bini y V. Pan. Cálculos polinómicos y matriciales, Volumen 1: Algoritmos fundamentales. Progress in Theoretical Computer Science, Birkhauser, 1994.
J. von zur Gathen. Álgebra lineal paralela. En J. Reif, editor, Synthesis of Parallel Algorithms, capítulo 13. Morgan Kaufmann Publishers, Inc., 1993.
No son necesariamente recientes, pero son un buen punto de partida.
¿Qué hay de los límites inferiores de la complejidad usando álgebra lineal ? El libro no es exactamente lo que desea, ya que examina los límites inferiores utilizando álgebra lineal, no la complejidad de los problemas de álgebra lineal. Sin embargo, creo que es útil de todos modos, ya que primero es necesario comprender la complejidad de los problemas de álgebra lineal y luego usarlo para probar límites más bajos en otros problemas.
Aquí está la descripción del libro:
Si bien se ha avanzado rápidamente en los límites superiores (algoritmos), el progreso en los límites inferiores en la complejidad de los problemas explícitos se ha mantenido lento a pesar de los intensos esfuerzos realizados durante varias décadas. Como es natural con los resultados de imposibilidad típicos, las preguntas de límite inferior son problemas matemáticos difíciles y, por lo tanto, es poco probable que se resuelvan mediante ataques ad hoc. En cambio, son necesarias técnicas basadas en nociones matemáticas que capturan la complejidad computacional. Complejidad de límites inferiores utilizando álgebra lineal examina varias técnicas para probar límites inferiores en la complejidad booleana, algebraica y de comunicación basada en ciertos enfoques algebraicos lineales. El tema común entre estos enfoques es estudiar las medidas de robustez del rango de la matriz.que capturan la complejidad en un modelo dado. Los límites inferiores adecuadamente fuertes en tales funciones de robustez de matrices explícitas conducen a importantes consecuencias en los modelos de circuito o comunicación correspondientes. Comprender la complejidad computacional inherente de los problemas es de fundamental importancia en matemáticas y ciencias de la computación teóricas. Complejidad de límites más bajos usando Álgebra lineal es una referencia invaluable para cualquiera que trabaje en el campo.
PD: Usted solicitó un libro, pero creo que este artículo: La complejidad computacional de algunos problemas de álgebra lineal también es útil (sin embargo, se remonta a 1999).
Este libro no menciona explícitamente algoritmos paralelos, pero el libro de Yap "Problemas fundamentales del álgebra algorítmica" es una muy buena referencia y discute la complejidad de muchas preguntas de álgebra lineal. Hay un capítulo específicamente sobre Sistemas lineales que discute la complejidad de tiempo / bit del cálculo determinante, la inversión de matriz, los algoritmos de forma normal de Hermite, entre otros.
El libro también trata la complejidad de la multiplicación, las bases de Grobner y las técnicas de reducción de celosía (como LLL). No puedo recomendarlo lo suficiente y apuesto a que encontrarás algo que valga la pena.