Algoritmo aleatorizado que "parece" determinista?

¿Hay un ejemplo interesante de un algoritmo aleatorio para un problema de búsqueda que siempre genera la misma respuesta (correcta), independientemente de su aleatoriedad interna, pero que explota la aleatoriedad para que su tiempo de ejecución esperado sea mejor que el tiempo de ejecución del más rápido conocido algoritmo determinista para el problema?

En particular, me preguntaba si existe un algoritmo para encontrar un primo entre n y 2n. No se conoce un algoritmo determinista de tiempo polinómico. Hay un algoritmo aleatorio trivial que funciona simplemente muestreando enteros aleatorios en el intervalo, que funciona gracias al teorema de los números primos . ¿Pero hay un algoritmo del tipo anterior cuyo tiempo de ejecución esperado es intermedio entre los dos?

EDITAR: Para refinar mi pregunta un poco, quería un algoritmo de este tipo para un problema en el que hay muchas salidas correctas posibles y, sin embargo, el algoritmo aleatorio se instala en uno independiente de su aleatoriedad. Me doy cuenta de que la pregunta probablemente no está completamente especificada ...

¡Shafi Goldwasser me comunicó que ella y sus coautores han estado investigando exactamente tales algoritmos para problemas de teoría de números! Se sabe lo siguiente:

1. Lenstra ha demostrado que existe un algoritmo de este tipo para encontrar una modificación cuadrática sin residuos de un primo dado.

2. Gat y Goldwasser han demostrado que existe un algoritmo para encontrar un generador de , donde p es un primo dado de la forma 2 q + 1 para un primo q .$\mathbb{Z}_p^*$$p$$2q + 1$$q$

(No sé de referencias citables.) También hay investigaciones en curso sobre la pregunta que hice sobre la búsqueda de un primo entre y 2 n .$n$$2n$

EDITAR: El documento de Gat y Goldwasser ahora se publica: http://eccc.hpi-web.de/report/2011/136/ . Sin embargo, este documento no resuelve la cuestión de encontrar un primo entre y 2 n .$n$$2n$

¿Cuentan las estructuras de datos aleatorizados?

Existe la lista de omisión que es una estructura de datos de mapa asociativo ordenado.

Su tiempo de ejecución para operaciones comunes como la inserción, recuperación y eliminación están (en el caso esperado) a la par con las de los árboles de búsqueda equilibrados, es decir, . Sin embargo, a veces se afirma que la estructura de datos tiene un factor constante mucho mejor que las implementaciones del árbol de búsqueda cuando se realiza correctamente (esto se basa fundamentalmente en una fuente buena y eficiente de aleatoriedad). El mejor factor constante probablemente sea el resultado del hecho de que no debe realizarse un reequilibrio (o cualquier operación similar).$O(\log n)$

¿Qué tal el algoritmo simplex de tiempo polinómico aleatorio de Kelner y Spielman? Encuentra el vértice óptimo de un programa lineal. No se conoce un algoritmo determinista simplex que se pruebe que se ejecute en tiempo polinómico, y para muchos de ellos, se pueden construir instancias patológicas que hagan que el algoritmo tome tiempo exponencial.

Por supuesto, hay algoritmos de punto interior de tiempo polinómico, por lo que no es exactamente lo que está buscando.

$2^n$$n$$2^n$

$2^{n-1}$

¿Esto califica?

$\mathbb{F}_p$$\log p$$p$

$\log p$

Hubo un proyecto de Polymath que abordaba una pregunta relacionada: http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Finding_primes

Con respecto a su primera pregunta, pensé en Quicksort primero, pero eso debería ser obvio.

Hay un algoritmo de coincidencia de cadenas ( Nebel, 2006 ) que usa ideas probabilísticas. Sin embargo, sí sé si este es el enfoque más rápido existente, y aparentemente necesita algunas muestras para la capacitación.

El siguiente documento de STACS '97 podría ser interesante para su caso: La complejidad de generar instancias de prueba .

Resumen: Recientemente, Watanabe propuso un nuevo marco para probar la corrección y el comportamiento promedio de los algoritmos que pretenden resolver un problema de búsqueda de NP de manera eficiente en promedio. La idea es generar al azar instancias certificadas de una manera que se parezca a la distribución subyacente. Discutimos este enfoque y mostramos que se pueden generar instancias de prueba para cada problema de búsqueda de NP con consultas no adaptativas a un oráculo de NP. Además, presentamos los generadores de instancias de prueba de Las Vegas y Monte Carlo y mostramos que estos generadores se pueden usar para averiguar si un algoritmo es correcto y eficiente en promedio. De hecho, no es difícil construir generadores Monte Carlo para todos los problemas de búsqueda de RP, así como generadores de Las Vegas para todos los problemas de búsqueda de ZPP. Por otra parte,

Especialmente, eche un vistazo a la página 384, en el Corolario 12:

$\rm{ZPP}$$\rm{RP}$$\rm{ZPP}$$\rm{NP}$$\rm{NP} \cap \rm{coNP}$

$\frac{1}{n^c}$$\text{polylog}(n)$