Declaraciones que implican

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Esta es una especie de pregunta abierta, por lo que me disculpo de antemano.

¿Hay ejemplos de afirmaciones que (aparentemente) no tienen nada que ver con la complejidad o las máquinas de Turing, pero la respuesta implicaría ? $\mathbf{P}\neq \mathbf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes p-vs-np

— Dominic van der Zypen
fuente

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"No existe un sistema de prueba para la lógica proposicional en el que cada tautología

φ

$\varphi$ tenga una prueba de longitud polinómica (en la longitud de

φ

$\varphi$ )". cuenta, ¿o eso está demasiado cerca de la complejidad debido al límite polinómico?

— Jan Johannsen

Como no hay respuestas "exactas" a mi pregunta, su conjetura contaría ... Solo estoy buscando ángulos sorprendentes y diferentes sobre el problema P vs NP

— Dominic van der Zypen

44

Supongo que la complejidad descriptiva da algunos ejemplos. Por ejemplo, el enunciado "hay propiedades (de estructuras ordenadas) expresables por fórmulas existenciales de segundo orden que pueden no expresarse por fórmulas universales de segundo orden" es equivalente a la respuesta de @ JanJohannsen, mientras que "hay propiedades (de estructuras ordenadas) expresables por las fórmulas existenciales de segundo orden que pueden no expresarse mediante fórmulas de primer orden con un operador de punto mínimo fijo "es precisamente

P \neq N P

$\mathsf P\neq\mathsf{NP}$ . ¿Cuentan estos?

— Damiano Mazza

"

N \neq 1

$\mathbf{N}\neq 1$ y

P \neq 0

$\mathbf{P}\neq 0$ ". * rimshot *

— David Richerby

1

Pregunta similar cstheory.stackexchange.com/questions/9806/…

— Tayfun Pay

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Un sistema de prueba para la lógica proposicional se denomina polinomialmente acotado , si cada tautología $\varphi$ tiene una prueba en el sistema de polinomios de longitud en la longitud de $\varphi$ .

La afirmación "No hay un sistema de prueba proposicional limitado polinómicamente" es equivalente a por un resultado clásico de Cook y Reckhow , por lo que implica . $\mathsf{NP} \neq \mathsf{co}\text-\mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Jan Johannsen
fuente

2

Yo pensaría que (por la definición de un sistema de prueba proposicional para el lenguaje completo de tautologías ), la suposición ("No hay un sistema de prueba para la lógica proposicional en el que cada tautología tiene una prueba de polinomio (en la longitud de ) length ") es casi idéntico a asumir ; y, por lo tanto, casi idéntico a asumir .

c o N P

$\mathsf{coNP}$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

N P \neq P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{P}$

— Iddo Tzameret

@ IddoTzameret: pero necesitamos saber que TAUTOLOGÍA es -completa, ¿verdad? Y eso no es trivial. Supongo que este ejemplo solo reafirma el interés de tener problemas completos "naturales": podemos hablar de clases de complejidad sin hablar explícitamente de las máquinas utilizadas para definirlas (que parece ser lo que pregunta el OP). O tal vez entendí mal tu comentario ...

c o N P

$\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza

@Damiano, creo que el hecho de que TAUT es completo para coNP es trivial, en el sentido de que está implícito en su definición y la integridad de NP de SAT.

— Iddo Tzameret

@IddoTzameret, Ok, pero usted está de acuerdo en que la del SAT no es trivial, ¿verdad? Eso es esencialmente lo que estaba diciendo. Quiero decir, entre la declaración " " formulada en términos de máquinas de Turing y su tiempo de ejecución y la afirmación "no hay un sistema de prueba proposicional limitado polinomialmente" Veo una brecha no trivial , definitivamente no se ven "casi idénticos". Esa brecha está en la integridad de TAUT o SAT, lo que quieras, pero está ahí. No estas de acuerdo

N P

$\mathsf{NP}$

N P \neq c o N P

$\mathsf{NP}\neq\mathsf{coNP}$

— Damiano Mazza

1

Sí, la propiedad " es una prueba de " debe poder comprobarse en el tiempo polinomial (en y ). Y debe ser sólido y completo, es decir, una fórmula debe tener una prueba si es una tautología.

p

$p$

φ

$\varphi$

| p |

$|p|$

| φ |

$|\varphi|$

— Jan Johannsen

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La teoría de la complejidad geométrica (GCT) (también [1]) no se ha mencionado todavía. Es un gran programa ambicioso para conectar P vs NP a la geometría algebraica. Por ejemplo, una breve sinopsis de la encuesta Comprensión del enfoque de Mulmuley-Sohoni para P vs. NP , Regan:

La estabilidad es informalmente una noción de no ser "caótico", y se ha convertido en una rama importante de la geometría algebraica bajo la influencia de DA Mumford, entre otros. Ketan Mulmuley y Milind Sohoni [MS02] observan que muchas preguntas sobre las clases de complejidad se pueden volver a emitir como preguntas sobre la naturaleza de las acciones grupales en ciertos vectores en ciertos espacios que codifican problemas en estas clases. Esta encuesta explica su marco desde un punto de vista laico e intenta evaluar si este enfoque realmente agrega un nuevo poder a los ataques a la pregunta P. vs. NP.

también una sinopsis en la sección "¿Una nueva esperanza?" en Estado del problema P vs NP , Fortnow (2009)

Mulmuley y Sohoni han reducido una pregunta sobre la inexistencia de algoritmos de tiempo polinomial para todos los problemas de NP completo a una pregunta sobre la existencia de un algoritmo de tiempo polinomial (con ciertas propiedades) para un problema específico. Esto debería darnos alguna esperanza, incluso frente a los problemas (1) - (3).

No obstante, Mulmuley cree que llevará unos 100 años llevar a cabo este programa, si es que funciona.

[1] Explicación estilo Wikipedia de la teoría de la complejidad geométrica (tcs.se)

— vzn
fuente

Gracias por traer GCT! Parece tocar mi propio problema [M], pero no lo había encontrado anteriormente. "Estos problemas computacionales pueden caracterizarse por sus simetrías. El programa tiene como objetivo utilizar estas simetrías para probar los límites inferiores".

— DukeZhou

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El siguiente resultado de Raz (Funciones evasivas y límites inferiores para circuitos aritméticos, STOC'08) está dirigido a (y no directamente a ), pero podría estar lo suficientemente cerca para el OP: $VP\neq VNP$ $P\neq NP$

Un mapeo polinómico es -usivo, si para cada mapeo polinomial de grado , Imagen ( ) Imagen ( ). $f:\mathbb F^n \to \mathbb F^m$ $(s, r)$ $Γ : \mathbb F^s → \mathbb F^m$ $r$ $f$ $\not⊂$ $Γ$

Para muchos ajustes de los parámetros , las construcciones explícitas de elusivos mapas polinómicos implican límites inferiores fuertes (hasta exponenciales) para los circuitos aritméticos generales. $n, m, s, r$

— Iddo Tzameret
fuente

¿Qué es un mapeo polinómico? ¿Te refieres a "polinomio"? ¿Te refieres a "función computable de tiempo polinomial"? ¿Algo más?

— DW

2

Es simplemente una secuencia de polinomios, cada uno con las mismas variables; por lo tanto, define una asignación de a .

m

$m$

n

$n$

F^{n}

$\mathbb{F}^n$

F^{m}

$\mathbb{F}^m$

— Iddo Tzameret

9

existe un campo de complejidad algo lateral / más recientemente estudiado llamado complejidad de gráfico que estudia cómo se construyen gráficos más grandes a partir de gráficos más pequeños utilizando operaciones AND y OR de bordes. Jukna tiene una buena encuesta . En particular, utilizando unidades de "gráficos de estrellas" hay un teorema clave, ver p20 comentario 1.18 (el teorema es técnicamente más fuerte que el siguiente y en realidad implica ): $P \ne NP/poly$

Ya sabíamos (Teorema 1.7) que existen gráficos bipartitos G de la complejidad de la estrella ; de hecho, tales son casi todos los gráficos. Por otro lado, el Lema de Ampliación Fuerte implica que incluso un límite inferior de para una constante arbitrariamente pequeña en la complejidad estelar de un gráfico explícito con tendría grandes consecuencias en la complejidad del circuito: tal gráfico daría una función booleana explícita requiere un circuito exponencial (en el número $n × m$ $Star(G) = (nm/ \log n)$ $Star(G) ≥ (2+c)n$ $c > 0$ $n×m$ $G$ $m = o(n)$ $f_G$ $\log_2 nm$ de variables) tamaño! (Recuerde que, para las funciones booleanas, incluso los límites inferiores superlineales no se conocen hasta ahora). En particular, si el gráfico es tal que la adyacencia de los vértices en puede determinarse por una máquina de Turing no determinista que funciona en un polinomio de tiempo en la longitud binaria de los códigos de vértices, luego una límite inferior para una constante arbitrariamente pequeña implicaría que . Por lo tanto, la complejidad estelar de los gráficos captura uno de los problemas más fundamentales de la informática. $G$ $G$ $log_2 n$ $Star(G) ≥ (2 + c)n$ $c > 0$ $P \ne NP$

— vzn
fuente

66

Creo que te refieres a . La declaración ya se conoce trivialmente.

P / p o l y ⊅ N P

$P/poly \not \supset NP$

P \neq N P / p o l y

$P \neq NP/poly$

— Yonatan N

@YonatanN es cierto?

P \neq N P / p o l y

$P\neq NP/poly$

— T ....

Sí. Incluso se sabe que P / poly contiene problemas fuera de P, como el problema de detención unaria.

— Yonatan N

Gracias por el enlace Jukna! "La complejidad es uno de los fenómenos científicos cruciales de nuestros tiempos. En este capítulo consideramos la complejidad de los gráficos".

— DukeZhou

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¿Qué hay de Philip Maymin

"¿Los mercados son eficientes si y solo si P = NP " reclamo?

— RB
fuente

3

Las afirmaciones y "pruebas" en este documento no parecen rigurosas, y los argumentos me parecen escasos. ¿Leíste este artículo?

— Rahul Savani

Lo revisé y estoy de acuerdo en que la metodología no es tan convincente, por eso lo llamé "reclamo" en lugar de resultado.

— RB

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Y está escrito en Microsoft Word: /

— gigabytes

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Los análogos de funciones de y ; y también serían interesantes en su estudio de la pregunta (?). Mientras que y son problemas de decisión que devuelven respuestas sí / no de bit, y realidad devuelven respuestas ( verifica las respuestas). Sabemos que , si . $P$ $NP$ $FP$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$ $P$ $NP$ $1$ $FP$ $FNP$ $FNP$ $FP$ $=$ $FNP$ $P$ $=$ $NP$

— usuario3483902
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