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La teoría de la complejidad geométrica propone estudiar la complejidad computacional de las funciones informáticas (por ejemplo, polinomios) explotando las simetrías inherentes en la complejidad y cualquier simetría adicional de las funciones que se estudian.
Al igual que con muchos enfoques anteriores, el objetivo final es para separar dos clases de complejidad , mostrando que hay un polinomio p que realiza funciones f como entradas (digamos, por sus vectores de coeficientes) de manera que p desaparece en cada función f ∈ C e a s y no desaparece en alguna función g h a r d ∈ C h a r d .Ceasy,Chardpfpf∈Ceasyghard∈Chard
La primera idea clave (cf. [GCT1, GCT2]) es usar simetrías para organizar no las funciones en sí mismas, sino para organizar las propiedades ( algebro-geométricas ) de estas funciones, capturadas por polinomios como arriba. Esto permite el uso de la teoría de la representación al intentar encontrar tal p . Ideas similares relacionadas con la teoría de la representación y la geometría algebraica se habían utilizado antes en geometría algebraica, pero que yo sepa, nunca de esta manera.pp
La segunda idea clave (cf. [GCT6]) es encontrar algoritmos combinatorios (y de tiempo polinómico) para los problemas teóricos de representación resultantes, y luego aplicar ingeniería inversa a estos algoritmos para mostrar que tal existe. Esto puede tomarse en el espíritu de usar la Programación Lineal (un algoritmo) para probar ciertas declaraciones puramente combinatorias.p
De hecho, [GCT6] sugiere reducir los problemas teóricos de representación anteriores a problemas de Programación de enteros , luego mostrar que las IP resultantes se resuelven por sus relajaciones de LP y finalmente dar algoritmos combinatorios para los LP resultantes. Las conjeturas en [GCT6] están motivadas por resultados conocidos de ingeniería inversa para los coeficientes de Littlewood-Richardson, un problema análogo pero más fácil en la teoría de la representación. En el caso de los coeficientes LR, la regla combinatoria de Littlewood-Richardson fue lo primero. Más tarde, Berenstein y Zelevinsky [BZ] y Knutson y Tao [KT] (ver [KT2] para una descripción amistosa) dieron una IP para los coeficientes LR. Knutson y Tao también demostraron la conjetura de saturación, lo que implica que el IP se resuelve con su relajación LP (cf. [GCT3, BI]).
Los resultados de [GCT5] muestran que desrandomizar explícitamente el Lema de normalización de Noether es esencialmente equivalente al notorio problema abierto en la teoría de la complejidad de la desrandomización de recuadro negro de las pruebas de identidad polinomiales . Aproximadamente cómo encaja esto en el programa más amplio es que encontrar una base explícita para las funciones que (no) desaparecen en C e a s y (en este caso, la clase para la cual el determinante está completo) podría usarse para derivar un regla combinatoria para el problema deseado en la teoría de la representación, como ha sucedido en otros entornos en geometría algebraica. Un paso intermedio aquí sería encontrar una base para esos ppCeasypque (no) se desvanecen en la normalización de , que es por construcción una variedad algebraica más agradable, en otras palabras, desrandomizar el Lema de Normalización de Noether para DET.Ceasy
Ejemplos de simetrías de complejidad y funciones.
Por ejemplo, la complejidad de una función , para la mayoría de las nociones naturales de complejidad, no cambia si permutamos las variables f ( x π ( 1 ) , ... , x π ( n ) ) por alguna permutación π . Así, las permutaciones son simetrías de la complejidad misma. Para algunas nociones de complejidad (como en la complejidad del circuito algebraico) todos los cambios lineales invertibles de las variables son simetrías.f(x1,…,xn)f(xπ(1),…,xπ(n))π
det ( A X B ) = det ( X T ) = det ( X ) A , B det ( A B ) = 1det(X)det(AXB)=det(XT)=det(X)A,Bdet(AB)=1
Algunos avances recientes [esta sección definitivamente está incompleta y es más técnica, pero una cuenta completa tomaría decenas de páginas ... solo quería resaltar algunos avances recientes]
Burgisser e Ikenmeyer [BI2] mostraron un límite inferior en la multiplicación de matrices siguiendo el programa GCT en cuanto a usar representaciones con multiplicidades cero vs no cero. Landsberg y Ottaviani [LO] dieron el límite inferior más conocido de esencialmente en el rango del borde de la multiplicación de matrices usando la teoría de la representación para organizar las propiedades algebraicas, pero no usando multiplicidades de representación ni reglas combinatorias.2n232n22n2
El siguiente problema después de los coeficientes de Littlewood-Richardson son los coeficientes de Kronecker . Estos aparecen tanto en una serie de problemas que se sospecha que eventualmente alcanzarán los problemas teóricos de representación que surgen en GCT, y más directamente como límites en las multiplicidades en el enfoque de GCT para la multiplicación de matrices y permanente versus determinante. Encontrar una regla combinatoria para los coeficientes de Kronecker es un problema abierto de larga data en la teoría de la representación; Blasiak [B] recientemente dio una regla combinatoria para los coeficientes de Kronecker con una forma de gancho.
Kumar [K] mostró que ciertas representaciones aparecen en el anillo de coordenadas del determinante con multiplicidad distinta de cero, asumiendo la conjetura del cuadrado latino de la columna (cf. Huang-Rota y Alon-Tarsi; esta conjetura también, tal vez no casualmente, aparece en [BI2 ]). Por lo tanto, estas representaciones no pueden usarse para separar lo permanente de lo determinante sobre la base de multiplicidades cero frente a cero, aunque aún podría ser posible usarlas para separar lo permanente de lo determinante por una desigualdad más general entre multiplicidades.
Referencias
[B] J. Blasiak. Coeficientes de Kronecker para una forma de gancho. arXiv: 1209.2018, 2012.
[BI] P. Burgisser y C. Ikenmeyer. Un algoritmo de flujo máximo para la positividad de los coeficientes de Littlewood-Richardson. FPSAC 2009.
[BI2] P. Burgisser y C. Ikenmeyer. Límites inferiores explícitos a través de la teoría de la complejidad geométrica. arXiv: 1210.8368, 2012.
[BZ] AD Berenstein y AV Zelevinsky. Multiplicidades triples para y el espectro del álgebra exterior de la representación adjunta. sl(r+1)J. Algebraic Combin. 1 (1992), no. 1, 7–22.
[GCT1] KD Mulmuley y M. Sohoni. Teoría de la complejidad geométrica I: un enfoque de la P vs. NP y problemas relacionados. SIAM J. Comput. 31 (2), 496-526, 2001.
[GCT2] KD Mulmuley y M. Sohoni. Teoría de la complejidad geométrica II: hacia obstrucciones explícitas para incrustaciones entre variedades de clase. SIAM J. Comput., 38 (3), 1175-1206, 2008.
[GCT3] KD Mulmuley, H. Narayanan y M. Sohoni. Teoría de la complejidad geométrica III: sobre la decisión de no desvanecimiento de un coeficiente de Littlewood-Richardson. J. Algebraic Combin. 36 (2012), no. 1, 103-110.
[GCT5] KD Mulmuley. Teoría de la Complejidad Geométrica V: Equivalencia entre la desrandomización de caja negra de las pruebas de identidad polinomial y la desleatización del Lemma de Normalización de Noether. FOCS 2012, también arXiv: 1209.5993.
[GCT6] KD Mulmuley. Teoría de la complejidad geométrica VI: el cambio a través de la positividad. , Informe técnico, departamento de informática, Universidad de Chicago, enero de 2011.
[K] S. Kumar. Un estudio de las representaciones respaldadas por el cierre de la órbita del determinante. arXiv: 1109.5996, 2011.
[LO] JM Landsberg y G. Ottaviani. Nuevos límites inferiores para el rango de borde de la multiplicación de matrices. arXiv: 1112.6007, 2011.
[KT] A. Knutson y T. Tao. El modelo de panal de los productos tensoriales . I. Prueba de la conjetura de saturación. GLn(C)J. Amer. Mates. Soc. 12 (1999), no. 4, 1055-1090.
[KT2] A. Knutson y T. Tao. Panales y sumas de matrices hermitianas. Avisos Amer. Mates. Soc. 48 (2001), no. 2, 175-186.