Complejidad de los problemas relacionados con la permutación

Dado un grupo $G$ de permutaciones en $[n]=\{1, \cdots, n\}$ y dos vectores $u,v\in \Gamma^n$ donde $\Gamma$ es un alfabeto finito que no es del todo relevante aquí, la pregunta es si existe algún $\pi\in G$ tal que $\pi(u)=v$ donde $\pi(u)$ significa aplicar la permutación $\pi$ en $u$ de una manera esperada.

Supongamos además que $G$ es dado, como entrada, por un conjunto finito $S$ de generadores. ¿Cuál es la complejidad del problema? En particular, ¿está en NP?

Sea donde S n es el grupo de permutación de n elementos. Testing si g ∈ ⟨ g 1 , ... , g k ⟩ se puede hacer en NC ⊆ P por [1]. Deje u , v ∈ Γ n , luego simplemente adivine g ∈ S n , pruebe en tiempo polinómico si g ∈ $g_1, \ldots, g_k, g \in S_n$$S_n$$n$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k \rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$u, v \in \Gamma^n$$g \in S_n$$g \in G$y si . Esto produce un límite superior NP .$g(u) = v$$\text{NP}$

Para complementar esta respuesta:

Se demostró que la pertenencia a grupos pertenecía a (Furst et al. 1980), luego a NC 3 para grupos abelianos (McKenzie & Cook 1987; Mulmuley 1987), a NC para grupos nilpotentes (Luks & McKenzie 1988), grupos resolubles (Luks & McKenzie 1988), grupos con factores de composición no abelianos limitados (Luks 1986), y finalmente todos los grupos (Babai et al. 1987). (Beaudry 1988; Beaudry et al. 1992; Kozen 1977), que muestran que la membresía para cualquier variedad de monoides aperiódicos fijos se encuentra en AC 0 , en P , en NP o en $\text{P}$$\text{NC}^3$$\text{NC}$$\text{AC}^0$$\text{P}$$\text{NP}$$\text{PSPACE}$ (y completa para esa clase con muy pocas excepciones).

[1] L. Babai, EM Luks y A. Seress. Grupos de permutación en Carolina del Norte. Proc. Simposio ACM anual sobre Teoría de la Computación, pp. 409-420, 1987.$19^\text{th}$

Su problema se conoce como ( -) string G -isomorphism. Es en una clase bastante estrecha de problemas alrededor Graph isomorfismo: es al menos tan difícil como GI, y está en N P ∩ c o A M .$\Gamma$$G$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

Reducción de GI: deje , y deje que sea ​​la acción inducida de en pares. G≤SNS$N = \binom{n}{2}$$G \leq S_N$$S_n$

G u v u $\mathsf{coAM}$Protocolo : Arthur elige aleatoriamente un elemento de (no estoy seguro de que esto se pueda hacer exactamente de manera uniforme, pero creo que los algoritmos conocidos se acercan lo suficiente como para ser uniformes para este resultado) y lo aplica tanto a como a . Con probabilidad de 1/2, intercambia y , luego se los presenta a Merlín y le pregunta cuál era cuál.$G$$u$$v$$u$$v$

A pesar de mis comentarios, también agregaré una respuesta.

En el caso, se sabe que los dos vectros dados son una permutación el uno del otro (y se sabe / se supone que la permutación está en el grupo dado ). Entonces la permutación que transforma se puede encontrar en tiempo lineal como tal:v → $G$$v \to u$

1. Alinee los 2 vectores uno debajo del otro

2. La permutación se encuentra a partir del primer elemento de que se transforma en el primer elemento de u$v$$u$

3. Obtenga la posición del elemento en el paso anterior (de en v ) y repita el paso (2), luego ese es el segundo elemento de la permutación y así sucesivamente, hasta que se atraviesen todos los elementos.$u$$v$

Si no se sabe si los dos vectores son positivamente la permutación del uno del otro (o para casos más generales en los que puede haber múltiples transformaciones, como por ejemplo un juego de sudoku), verifique el Problema de otra solución, que en general es NP-duro. Esto requiere el uso de algunas transformaciones de simetría (por ejemplo, permutaciones) que satisfacen las restricciones de un problema dado para generar otra solución del problema dada una solución inicial.

Además, esto es parte de los problemas conocidos como problemas inversos (a-la Jaynes)