¿Puede el cálculo lambda afín resolver todos los problemas en P?

En Temas avanzados en tipos y lenguajes de programación se menciona, en el capítulo sobre sistemas de tipos subestructurales, que un cálculo lambda afín "cuidadosamente elaborado" con un combinador de recursión para listas solo puede escribir términos que tienen tiempo de ejecución polinómico (no presentar la prueba debido a la complejidad). Esto sería muy interesante si también pudiéramos resolver todos los problemas en P. Podría intentar encontrar una solución a un problema P-completo utilizando el cálculo presentado por No estoy seguro de que esto realmente pruebe algo. No me parece que signifique que puede preformar todas las reducciones necesarias para usar una solución a un problema P-completo (aunque ciertamente parece probable).

Si no se sabe que un cálculo lambda afín pueda resolver exactamente los problemas en P, ¿hay algún cálculo conocido que pueda resolver exactamente los problemas en P?

cc.complexity-theory type-theory lambda-calculus

— Jake
fuente

Disculpe mi ignorancia, pero ¿cuál es un ejemplo de un problema de

completo y, lo que es más importante, qué noción de reducción está utilizando?

P

$P$

— Andrej Bauer

Encontré algunos en wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/P-complete#P-complete_problems . De interés es el problema del valor del circuito y la bocina-SAT. La programación lineal también es aparentemente

-completa. Estas diapositivas describen el problema del valor del circuito en el pozo de preety cs.cornell.edu/courses/CS6820/2012sp/Handouts/cvp.pdf . Parece que se utilizan reducciones

, siendo las reducciones

más débiles que las reducciones

Yo estaría satisfecho con cualquiera de los dos; No estoy seguro de cuáles son las consecuencias de usar

exactamente.

P

$P$

L

$L$

N C

$NC$

L

$L$

N C

$NC$

L

$L$

N C

$NC$

— Jake

Hay lenguajes lineales que están completos para P. Curiosamente, generalmente están completos para problemas, pero no para algoritmos. Es decir, puede escribir un programa de tiempo de polietileno para cada problema en P, pero no todos los algoritmos de tiempo de polietileno son expresables.

— Neel Krishnaswami

¿Sería esa afirmación aproximadamente equivalente a "generalmente están completos para P pero no para FP"? Además, si pudiera proporcionar algunos ejemplos, esta sería una respuesta increíble.

— Jake

Neel Krishnaswami, ¿puedes proporcionar una referencia? Esto suena interesante

— Mateus de Oliveira Oliveira

Editar: ¡ mi suposición en el primer párrafo a continuación es incorrecta! Ugo Dal Lago me señaló un artículo posterior de Martin Hofmann (aparecido en POPL 2002), del cual no estaba al tanto, mostrando (como corolario de resultados más generales) que el sistema del libro ATTPL está completo para ( a pesar de no poder calcular todas las funciones en ). Entonces, para mi sorpresa, la respuesta a la pregunta principal es sí. $\mathsf P$ $\mathsf{FP}$

En cuanto al sistema que usted se refiere (del libro ATTPL), estoy bastante seguro de que no puede decidir en todos los idiomas . Ciertamente no puede calcular todas las funciones en : como se menciona en las notas de ese capítulo, ese sistema está tomado del documento LICS 1999 de Martin Hofmann ("Tipos lineales y cálculo de tiempo polinomial sin aumento de tamaño"), en el que se muestra que las funciones representables son polytime y no aumentan el tamaño $\mathsf P$ $\mathsf{FP}$ , que excluye muchas funciones polytime. También parece dar una seria limitación al tamaño de la cinta de las máquinas de Turing que puede simular en ese idioma. En el documento, Hofmann muestra que puede codificar el cálculo del espacio lineal; Supongo que no podrá hacer mucho más, es decir , la clase correspondiente a ese sistema es, aproximadamente, los problemas que se pueden resolver simultáneamente en polytime y en el espacio lineal.

En cuanto a su segunda pregunta, hay varios -calculi que puede resolver exactamente los problemas en . Algunos de ellos se mencionan en las notas del capítulo ATTPL al que se refiere (Sección 1.6): cálculo escalonado de Leivant (vea su documento POPL 1993, o el documento con Jean-Yves Marion "Caracterizaciones de cálculo Lambda de Poly-Time" ", Fundamenta Informaticae 19 (1/2): 167-184, 1993), que se relaciona con la caracterización de Bellantoni y Cook de ; y los cálculos derivados de la lógica lineal ligera de Girard ( Information and Computation , 143: 175–204, 1998) o de la lógica lineal suave de Lafont ( Theoretical Computer Science $\lambda$ $\mathsf P$ $\lambda$ $\mathsf{FP}$ $\lambda$ 318 (1-2): 163-180, 2004). Los sistemas de tipos que surgen de estos dos últimos sistemas lógicos y que aseguran la terminación de polytime (sin dejar de ser completa) se pueden encontrar en:

Patrick Baillot, Kazushige Terui. Tipos de luz para el cálculo del tiempo polinómico en cálculo lambda. Información y cálculo 207 (1): 41-62, 2009.

Marco Gaboardi, Simona Ronchi Della Rocca. De lógicas ligeras a tareas de tipo: un estudio de caso. Diario lógico de la IGPL 17 (5): 499-530, 2009.

Encontrarás muchas otras referencias en esos dos documentos.

Para concluir, permítanme ampliar el comentario de Neel Krishnaswami. La situación es un poco sutil. Todos los cálculos de anteriores pueden verse como restricciones de cálculos más generales, en los que puede calcular mucho más que las funciones de polytime, por ejemplo, el sistema F. En otras palabras, define una propiedad de los programas del sistema F tal que: $\lambda$ $\Phi$ $P:\texttt{string}\rightarrow\texttt{bool}$

solidez: implica que el lenguaje decidido por está en ; $\Phi(P)$ $P$ $\mathsf P$

integridad: para cada , hay un programa del sistema F decide tal que . $L\in\mathsf P$ $P$ $L$ $\Phi(P)$

El interés es que la propiedad expresada por es puramente sintáctica y, en particular, decidible. Por lo tanto, la integridad solo puede mantenerse en un sentido extensional: si es su lenguaje favorito en y si es su algoritmo favorito para decidir expresado en el sistema F, puede ser que no se mantenga. Todo lo que sabes es que hay algún otro programa del sistema F decide y tal que cumple. Desafortunadamente, puede suceder que $\Phi$ $L$ $\mathsf P$ $P$ $L$ $\Phi(P)$ $P'$ $L$ $\Phi(P')$ $P'$ es mucho más que su ideado . De hecho, la integridad se prueba codificando máquinas de Turing polinomialmente sincronizadas como términos del sistema F que satisfacen . Por lo tanto, la única forma garantizada de resolver usando su algoritmo favorito es implementar ese algoritmo en una máquina de Turing y luego traducirlo en el sistema F usando la codificación dada en la prueba de integridad (¡su propia codificación puede no funcionar!). No es exactamente la solución más elegante en términos de programación ... Por supuesto, en muchos casos el programa "natural" satisface . Sin embargo, en muchos otros casos no lo hace: en el artículo de LICS 1999 mencionado anteriormente, Hofmann da el tipo de inserción como ejemplo. $P$ $\Phi$ $L$ $P$ $\Phi$

Existen sistemas de tipos intencionalmente completos , que pueden escribir exactamente los programas de polytime del lenguaje más amplio (sistema F en mi ejemplo anterior). Por supuesto, son indecidibles en general. Ver

Ugo Dal Lago, Marco Gaboardi. Tipos dependientes lineales y completitud relativa. Métodos lógicos en informática 8 (4), 2011.

— Damiano Mazza
fuente

No entiendo lo que intentas decir en la segunda mitad. Según su descripción, hay una transformación sintáctica de máquinas de Turing con reloj de tiempo múltiple a programas F que resuelven el mismo problema. Hasta donde puedo ver, esto es lo mejor que uno puede esperar al traducir de un modelo de computación a otro.

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek: Estoy tratando de decir que

es bastante restrictivo y que rechaza muchos programas F "naturales" de polytime. Si había una cosa tal como un sistema de M programador y que eran uno, y si te pido que escriba un programa para la multiplicación de números enteros unarios (de tipo

), probablemente escribirías

Φ

$\Phi$

N a t := \forall X . (X \to X) \to X \to X

$Nat:=\forall X.(X\rightarrow X)\rightarrow X\rightarrow X$

. Entonces, es posible que se sienta decepcionado al descubrir que su término es rechazado y, en su lugar, debe programar la multiplicación iterando la suma. (Continuación)

λ m^{N a t} . λ n^{N a t} . Λ X . λ s^{X \to X} . m X (n X s)

$\lambda m^{Nat}.\lambda n^{Nat}.\Lambda X.\lambda s^{X\rightarrow X}.mX(nXs)$

— Damiano Mazza

(El ejemplo anterior es real: en todos los sistemas de tipos derivados de lógica lineal para polytime, el término habitual para la multiplicación no se puede escribir). Usted puede ser aún más decepcionado si te dijera que no se puede programa, por ejemplo, la ordenación por inserción como tal (que es, sin duda polytime) pero hay que anotar la máquina de Turing implementarlo y luego codificar que en el sistema F. y yo diría tendría razón de ser decepcionado: programador lo que en lo que lenguaje de programación de alto nivel sería feliz con un tipo de corrector diciendo "no puedo introducir a revisar su anidada

bucles, por favor código de esto en el montaje"? :-)

f o r

$\mathtt{for}$

— Damiano Mazza

Creo que esto esta bien. Estoy principalmente interesado en la búsqueda de funciones (encontrar funciones que maximicen una determinada propiedad), por lo que no tengo que ser el programador, la computadora sí. Esta noche tendré tiempo para mirar estas referencias. ¡Gracias!

— Jake