¿El problema de reconocimiento de 3 esferas es NP completo?

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Se sabe que determinar si una variedad múltiple triangulada de 3 es una esfera 3 está en NP, a través del trabajo de Saul Schleimer en 2004: "El reconocimiento de la esfera se encuentra en NP" arXiv: math / 0407047v1 [math.GT] . Me pregunto si esto se ha establecido para NP-completo en los últimos cinco o seis años. Los problemas análogos, como el problema del género del nudo de 3 múltiples, se han mostrado NP completos.

— Joseph O'Rourke
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Ahora se sabe que el problema también está en co-NP, vea el anuncio en J. Hass, Nuevos resultados sobre la complejidad de reconocer las 3 esferas, Oberwolfach Rep. 9 (2012), no. 2, 1425 {1426.

— Arnaud

@Arnaud: ¿Alguna actualización sobre esto? Desde entonces no pude encontrar nada de Hass sobre el problema. Lo mejor que pude encontrar es el resultado de coNP condicionado a GRH que puse en mi nueva respuesta, y que parece no mencionar a Hass :(.

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Lo siento, mi comentario fue inexacto y esa afirmación de Joel Hass (también olvidé decir que esto fue con G. Kuperberg) también suponía GRH. Hasta donde yo sé, todavía no ha aparecido un informe completo.

— Arnaud

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Si se completa con NP, entonces, ¿no habría demostrado que ningún conjunto de invariantes computacionales (uniformemente) en tiempo polinómico de 3 múltiples distingue 3 esferas de otras 3 múltiples? Me sorprendería mucho si esto se sabe.

— Peter Shor
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En particular, un resultado de dureza NP probaría que la esfera 3 no puede distinguirse de otras 3 esferas de homología en el tiempo polinómico.

— Jeffε

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Solo para agregar a la respuesta de Peter: Hass, Lagarias y Pippenger demostraron que el problema de anudamiento de nudos en las tres esferas estaba en NP. Ian Agol ha demostrado que el problema de anudamiento está en co-NP (pero vea sus comentarios en MathOverflow). Me parece, al menos para mí, que el problema del reconocimiento de tres esferas es mucho más parecido a desanudar que a anudar el género en general a tres tipos. (Porque está certificado por la presencia de una superficie característica de Euler positiva).

Por lo tanto, apostaría a que el reconocimiento de tres esferas también está en co-NP. Un paso en esta dirección sería mostrar que el reconocimiento de colectores toroidales irreducibles está en NP, directamente después de Agol. Un poco más fuerte sería mostrar que el reconocimiento múltiple de Haken reside en NP. Separar las tres esferas de los colectores irreducibles, no toroidales es más difícil. Pero quizás lo que hay que hacer allí es usar la Geometrización: si el múltiple está cerrado, es orientable, irreducible y atoroidal, entonces tiene una de las ocho geometrías de Thurston. Quizás sea fácil certificar todos los colectores geométricos pero no hiperbólicos, digamos a través de divisiones Heegaard casi normales. (Aunque los límites de complejidad de Hass, Lagarias y Pippenger tendrían que ser reemplazados, de alguna manera).

$M$

$M$ $N$ $N$ $N$ $M$

$M$

— Sam Nead
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Este documento muestra (aunque no lo he verificado) que el reconocimiento de 3 esferas * está en coNP suponiendo GRH:

$SL(2,\mathbb{C})$

(De posible interés: un artículo de seguimiento arXiv: 1610.04092 [math.GT] usa esto para desarrollar un algoritmo usando bases de Grobner).

* Técnicamente se afirma que reconocer la esfera 3 entre las 3 esferas de homología de enteros está en coNP suponiendo GRH. No soy un experto en esta área, pero me parece claro que uno puede calcular la homología entera dada una triangulación en tiempo polivinílico, y si la homología entera no coincide con la de una esfera 3, definitivamente no es La 3-esfera.

— Joshua Grochow
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