¿Se conocen límites generales eficientes de estilo Bonferroni?

Un problema clásico en la teoría de la probabilidad es expresar la probabilidad de un evento en términos de eventos más específicos. En el caso más simple, se puede decir $P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$ . Escritura Vamos $AB$ para el evento $A \cap B$ .

Hay algunas formas de vincular , sin asumir la independencia de los finitos eventos . Bonferroni dio el límite superior (esto a veces también se atribuye a Boole ), y Kounias refinó esto a $P[\cup A_i]$ $A_i$

P [\cup A_{i}] \leq \sum P [A_{i}]

$P[\cup A_i] \le \sum P[A_i]$

P [\cup A_{i}] \leq \sum_{i} P [A_{i}] - max_{j} \sum_{i \neq j} P [A_{i} A_{j}] .

$P[\cup A_i] \le \sum_i P[A_i] - \max_j \sum_{i \ne j} P[A_i A_j].$

La estructura de dependencia de los eventos puede considerarse como una hipergrafía ponderada con vértices $A_i$ , con el peso de un borde que representa la probabilidad del evento asociado con la intersección de los vértices en el borde.

Un argumento de estilo de inclusión-exclusión considera conjuntos de eventos cada vez más grandes. Estos producen los límites de Bonferroni . Estos límites utilizan todos los pesos para bordes de hasta cierto tamaño $k$ .

Si la estructura de dependencia es "lo suficientemente agradable", entonces el Lema local de Lovász se puede utilizar para limitar la probabilidad de los valores extremos 0 y 1. En contraste con el enfoque de Bonferroni, el LLL utiliza información bastante aproximada sobre la estructura de dependencia.

Ahora suponga que relativamente pocos pesos en la estructura de dependencia son distintos de cero. Además, suponga que hay muchos eventos que son independientes en pares pero que no lo son (y, en general, es muy posible que un conjunto de $k$ eventos no sean mutuamente independientes, pero sí son $r$ -wise para cada $r < k$ ).

¿Es posible utilizar explícitamente la estructura de dependencia de los eventos para mejorar los límites de Bonferroni / Kounias, de una manera que se pueda calcular de manera eficiente?

Espero que la respuesta sea sí, y agradecería los punteros a las referencias. Conozco el artículo de Hunter de 1976, pero solo trata las dependencias por pares. Hunter considera abarcar árboles en el gráfico formado al ignorar los bordes en la estructura de dependencia de tamaño 3 o mayor.

David Hunter, Un límite superior para la probabilidad de una unión , Journal of Applied Probability 13 597–603. http://www.jstor.org/stable/3212481

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— András Salamon
fuente

Creo que encontrará la respuesta en el documento "Inclusión-Exclusión aproximada" por Linial y Nisan: http://www.cs.huji.ac.il/~nati/PAPERS/approx_incl_excl.pdf

— Aria
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Esto parece muy relevante (el enlace oficial es link.springer.com/article/10.1007/BF02128670 ); También hay un link.springer.com/article/10.1007/BF01271266 de seguimiento de Jeff Kahn, Nathan Linial y Alex Samorodnitsky.

— András Salamon