¿Por qué los gráficos de Ramanujan llevan el nombre de Ramanujan?

Recientemente enseñé expansores e introduje la noción de gráficos Ramanujan. Michael Forbes preguntó por qué se les llama así, y tuve que admitir que no lo sé. ¿Nadie?

Para agregar contenido a las respuestas aquí, explicaré brevemente cuál es la conjetura de Ramanujan.

En primer lugar, la conjetura de Ramanujan es en realidad un teorema, probado por Eichler e Igusa. Aquí hay una forma de decirlo. Sea el número de soluciones integrales para la ecuación cuadrática . Si , ese fue, por supuesto, probado por Legendre, pero Jacobi dio el recuento exacto: . No se sabe nada exactamente igual para m más grande, pero Ramanujan conjeturó el límite: r_m (n) = c_m \ sum_ {d \ mid n} d + O (n ^ {1/2 + \ epsilon}) para cada \ epsilon> 0 , donde c_m es una constante dependiente solo de m$r_m(n)$$x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$$m=1$$r_m(n) > 0$$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$.

Lubtozky, Phillips y Sarnak construyeron sus expansores basados ​​en este resultado. No estoy familiarizado con los detalles de su análisis, pero creo que la idea básica es construir un gráfico Cayley de $PSL(2,Z_q)$ para un primo $q$ que $1 \bmod 4$ , utilizando generadores determinados por cada suma de descomposición de cuatro cuadrados de $p$ , donde $p$ es un residuo cuadrático módulo $q$ . Luego, relacionan los valores propios de este gráfico de Cayley con $r_{2q}(p^k)$ para las potencias enteras $k$ .

Una referencia, que no sea el documento de Lubotzky-Phillips-Sarnak en sí, es la breve descripción de Noga Alon en Tools from Higher Algebra .

Wikipedia ofrece esta respuesta con bastante rapidez. Citando

Las construcciones de los gráficos de Ramanujan son a menudo algebraicas. Lubotzky, Phillips y Sarnak muestran cómo construir una familia infinita de gráficos Ramanujan regulares , siempre que sea ​​primo. Su prueba utiliza la conjetura de Ramanujan , que llevó al nombre de los gráficos de Ramanujan.$p+1$$p = 1 \mod 4$

El documento al que se hace referencia son los gráficos de Ramanujan A. Lubotzky, R. Phillips y P. Sarnak, COMBINATORICA Volumen 8, Número 3 (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.