Otra variante de PARTICION

Tengo una reducción del siguiente problema de partición a un cierto problema de programación:

Entrada: Una lista de enteros positivos en orden no decreciente. $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

Pregunta: ¿Existe un vector $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$ tal que

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

Sin la segunda condición, es solo PARTICIÓN, por lo tanto, NP-hard. Pero la segunda condición parece proporcionar mucha información adicional. Me pregunto si hay una manera eficiente de decidir esta variante. ¿O sigue siendo difícil?

— Thomas Kalinowski
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Aquí hay una reducción de PARTICIÓN a este problema. Deje $(a_1,\dots, a_n)$ ser una instancia de PARTITION. Suponga que $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ .

Sea un "número muy grande", por ejemplo, . Considere la instancia de nuestro problema. $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 5 norte veces}{\underset{⏟}{norte, ..., norte}}, norte + {un}_{1}, ..., norte + {un}_{norte}, \underset{norte veces}{\underset{⏟}{4 4 norte, ..., 4 4 norte}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

Si hay una solución para PARTITION, entonces es una solución a nuestro problema. $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 4 norte veces}{\underset{⏟}{1, ..., 1}}, - X_{1}, ..., - X_{norte}, X_{1}, ..., X_{norte}, \underset{norte veces}{\underset{⏟}{- 1, ..., - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
Si hay una solución a la instancia de nuestro problema (al que redujimos una instancia de PARTITION), entonces . Por lo tanto, Es decir, es una solución para PARTICIÓN. $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{yo = 1}^{norte} {un}_{yo} y_{yo} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Yury
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Gracias Yury En mi aplicación, es esencial que la lista de entrada se ordene de manera no decreciente, y la entrada en su reducción no lo es. Modificaré la pregunta para que el requisito del pedido sea más explícito.

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— Thomas Kalinowski

@ thomas: no me di cuenta de eso. Ahora actualicé mi solución.

— Yury