¿Estrategias de clasificación jerárquica para permutaciones que evitan patrones?

Para una clase de permutaciones, no podemos esperar clasificar las permutaciones de C con menos de O ( log | C n | ) comparaciones, donde por convención C n : = C ∩ S n .$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$O(\log |\mathcal{C}_n|)$$\mathcal{C}_n := \mathcal{C} \cap S_n$

En particular, cuando está cerrado por subpatrones, se sigue por el teorema de Marcus-Tardos (refinado por J. Fox) que | C n | ≤ C n , donde C es la constante Stanley-Wilf de C . Esto lleva a la siguiente pregunta: ¿es posible clasificar dicha clase utilizando como máximo comparaciones O ( n log C ) ? Esta pregunta es un refuerzo de la pregunta 1 en el documento ' Clasificación rápida y permutaciones para evitar patrones ' de D. Arthur.$\mathcal{C}$$|\mathcal{C}_n| \leq C^n$$C$$\mathcal{C}$$O(n \log C)$

Parece posible representar una estrategia de clasificación de este tipo mediante un árbol binario que esencialmente imitaría un algoritmo de clasificación de fusión 'desequilibrado'. Aquí está la idea: dada una permutación , buscaríamos un árbol T π marcado con hojas por los puntos de π , de modo que para cada nodo u de T π la 'superposición' entre los dos subárboles secundarios sería O ( log C ) (en el peor de los casos o en promedio). Sin embargo, sospecho que es necesaria una estructura más involucrada para resolver este problema; Debería admitir una solución positiva.$\pi$$T_{\pi}$$\pi$$u$$T_{\pi}$$O(\log C)$

$231$$C_n$$231$$\pi^{-1}(n) = i$$C_{i-1} C_{n-i}$$231$$[0,C_n)$$n$$I_1,\ldots,I_n$$C_i C_{n-i-1}$$i=1,\ldots,n$$\pi^{-1}(n) = i$$\pi|_{1,\ldots,i-1}$$231$$\{1,\ldots,i-1\}$$\pi|_{i+1,\ldots,n}$$231$$\{i+1,\ldots,n\}$$[0,C_{i-1})$$[0,C_{n-i})$$\pi$$I_i$

$\tau \in S_3$$\tau$$231$$132$$123$$3$