¿El teorema de Kannan implica que NEXPTIME ^ NP ⊄ P / poly?

Estaba leyendo un artículo de Buhrman y Homer "Circuitos superpolinomiales, oráculos casi dispersos y la jerarquía exponencial" .

Al final de la página 2, comentan que los resultados de Kannan implican que $NEXPTIME^{NP}$ no tiene circuitos de tamaño polinómico. Sé que en la jerarquía de tiempo exponencial, $NEXPTIME^{NP}$ es solo $\Sigma_2EXP$ , y también sé que el resultado de Kannan es que $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ tal que $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'
fuente

Quizás eso sea más apropiado para cstheory.se.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Ok, gracias. Si un moderador cree que es más apropiado para cstheory.se, no dude en moverlo.

Esto también se encuentra actualmente en el conjunto de problemas cs354 ...: - / ... Expliqué explícitamente a los estudiantes que no pregunten por Internet, por lo que "Lorraine" espero que no estén tomando mi clase.

— Ryan Williams

@ Sasho, creo que sería bueno hacerlo, al menos hasta después de la fecha de vencimiento de la tarea.

— Kaveh

@Turbo Supongo que también podría hacerlo, espero que esto no esté en el problema de otra persona establecido en este momento.

— Sasho Nikolov

Esta versión de la respuesta incorpora comentarios de Emil Jeřábek.

Hasta donde puedo ver, el giro principal es que hay un lenguaje en de complejidad de circuito exponencial. En particular, arregle una codificación binaria de circuitos booleanos y defina como el lenguaje definido por $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ no se decide por ningún circuito de tamaño , y $2^{n/2}$

cualquier lenguaje que precede a lexicográficamente es decidido por algún circuito de tamaño máximo , $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

donde la notación significa la porción . $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

Para hacer esto en tiempo exponencial con un , puede usar la búsqueda binaria en subconjuntos de (piense en ellos como enteros de bits) para encontrar el primero tal conjunto que tiene complejidad de circuito . Simplemente mantenga la suposición actual de , y use el oráculo para probar si existe un de complejidad de circuito al menos . Dado que esto da una máquina en , que escribe toda la rebanada , claramente podemos decidir también la pertenencia a , y, por lo tanto, en . $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

Esto es muy parecido al argumento de Kannan, pero se ha ampliado y simplificado para usar el tiempo exponencial. Entonces debería poder usar una versión ampliada del teorema de Karp-Lipton para mostrar que si , entonces , y puede llevar a cabo el análisis de caso en la prueba de Kannan. $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— Sasho Nikolov
fuente

AFAICS su descripción proporciona directamente un lenguaje , en lugar de .

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— Emil Jeřábek

@ EmilJeřábek Mi cerebro nunca pudo procesar máquinas oráculo. I cuantificador profundidad cuatro: está en si existe un circuito de tamaño tal que y [para todos los circuitos de tamaño existe una palabra para la cual ] y [para todas las que preceden a en orden lex existe un circuito de tamaño máximo st para todos

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ] Este parece ser el cuarto nivel de la jerarquía exponencial. ¿Qué es en notación de oráculo?

— Sasho Nikolov

Primero, "existe una palabra ..." y el cuantificador universal similar cerca del final no cuenta ya que son de tamaño lineal, por lo tanto, se pueden calcular de manera determinista en tiempo exponencial. En segundo lugar, el cuantificador más externo se puede simular determinísticamente en tiempo exponencial mediante búsqueda binaria.

— Emil Jeřábek

Es decir, la primera función booleana lexicográficamente en entradas que no tiene circuitos de tamaño se puede encontrar mediante búsqueda binaria de tiempo exponencial con oráculo para el predicado "existe una función lexicográficamente precedente eso no es computable por un circuito de tamaño ".

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— Emil Jeřábek

@SashoNikolov Por lo tanto, todavía funciona desde . Sin embargo, no podemos usar si luego aplica Karp-Lipton en cstheory.stackexchange.com/questions/39837/… . Entonces tenemos y . Esto no funciona para .

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....