¿Prueba simple de Ω (n lg n) en el peor de los casos para la unicidad / distinción?

Hay varias pruebas del límite inferior loglineal para el problema de unicidad / distinción del elemento (basado en árboles de cálculo algebraico o argumentos adversos), pero estoy buscando uno que sea lo suficientemente simple como para usar en un primer curso en el análisis y diseño de algoritmos. El mismo "nivel de dificultad" como el límite inferior para la clasificación estaría bien. Además, cualquier enfoque (p. Ej., Combinatorio o basado en la teoría de la información) estaría bien. ¿Alguna sugerencia?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Magnus Lie Hetland
fuente

¿Qué modelo de cálculo tienes en mente? Si los elementos son enteros pequeños, se puede hacer

clasificándolos. Si los elementos solo se pueden comparar por desigualdad, parece haber un límite inferior de

. ¿Es correcto inferir de la respuesta que está buscando que los elementos están ordenados linealmente y se pueden comparar para <, =,> pero no para otras operaciones?

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Warren Schudy

La pregunta de Warren en su comentario es una buena decisión. En relación con esto, el comentario de David Eppstein sobre otra pregunta es perspicaz, donde enfatiza la importancia de especificar el modelo computacional cuando hablamos de este tipo de límites inferiores. Por cierto, no estoy seguro de si tiene sentido enumerar "árboles de cálculo algebraicos" (un modelo de cálculo) y "argumentos adversos" (un método de prueba) uno al lado del otro.

— Tsuyoshi Ito

Muy buenos puntos. Mi solicitud aquí explica las pruebas de dureza mediante reducción, por ejemplo, reduciendo la unicidad a la clasificación (y varios otros problemas). Por lo tanto, estoy asumiendo las mismas operaciones básicas que cuando trabajo con la clasificación de comparación (para que la reducción funcione). (O, supongo, cualquier cosa equivalente a la RAM con números reales.)

— Magnus Lie Hetland

Respuestas:

Cualquier certificado (prueba) de distinción que use solo <, = y> debe incluir comparaciones entre cada par de elementos adyacentes en el orden ordenado. Por lo tanto, cualquier certificado de distinción proporciona suficiente información para clasificar y, por lo tanto, el límite inferior teórico de información estándar para la clasificación se aplica también a cualquier algoritmo de distinción determinista.

— Warren Schudy
fuente

Este argumento funciona para árboles de comparación, pero no (directamente) para modelos de árbol de decisión más generales.

— Jeffε

JeffE: estoy de acuerdo. Dudo que haya una prueba lo suficientemente simple para los propósitos de Magnus que funcione en un modelo más general.

— Warren Schudy

Correcto. Los árboles de comparación están bien para mi aplicación, así que supongo que esto está muy cerca de lo que estoy buscando. Mi solicitud explicaba la idea de las pruebas de dureza, incluida la reducción a la clasificación, por lo que el hecho de que la prueba de clasificación se use aquí es como un cortocircuito. Supongo que debería haber dicho eso explícitamente :-)

— Magnus Lie Hetland

No estoy seguro si entiendo la pregunta correctamente, pero la prueba de Dobkin y Lipton [DL79] de que el problema de unicidad en n números requiere comparaciones Ω ( n log n ) en el modelo de árbol de decisión lineal es mucho más fácil que el resultado más fuerte en el modelo de árbol de cálculo algebraico de Ben-Or [Ben83] (no es sorprendente).

Referencias

[Ben83] Michael Ben-Or. Límites inferiores para árboles de cálculo algebraico. En las actas del decimoquinto simposio anual de ACM sobre teoría de la informática (STOC 1983) , págs. 80–86, abril de 1983. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] David P. Dobkin y Richard J. Lipton. Sobre la complejidad de los cálculos bajo diferentes conjuntos de primitivas. Journal of Computer and System Sciences , 18 (1): 86–91, febrero de 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Tsuyoshi Ito
fuente

En resumen: considere el espacio R ^ n de todas las entradas posibles. El conjunto de entradas positivas tiene n! componentes conectados, uno para cada permutación. Por otro lado, las entradas del subconjunto que pueden alcanzar cualquier hoja en un árbol de decisión lineal son convexas y, por lo tanto, están conectadas. Por lo tanto, cualquier árbol de decisión lineal que determine la unicidad tiene al menos n! hojas.

— Jeffε

Se requiere un argumento más sutil para el caso especial de entradas enteras. Ver Lubiw y Rács, "Un límite inferior para el problema de distinción de elementos enteros", Información y Computación 1991; o Yao, "

— Límites

@JeffE: Tu breve explicación es maravillosa. También gracias por el puntero a resultados interesantes. ¡Nunca se me ocurrió que el límite inferior de Ben-Or no se aplica inmediatamente al caso en el que la entrada está restringida a enteros!

— Tsuyoshi Ito

Jeff: estos deberían estar en una respuesta!

— Suresh Venkat

Gracias a Tsuyoshi Ito y JeffE. He visto la prueba de espacio R ^ n antes (en un entorno que utiliza argumentos adversos). Pensé que era demasiado complejo para mi público objetivo cuando lo leí por primera vez, pero supongo que tal vez no lo sea, en realidad. Gracias. (También he visto el artículo sobre el caso entero; creo que no voy a entrar en eso en mi conferencia ... :)

— Magnus Lie Hetland