Teoría del tipo de homotopía y teoremas de incompletitud de Gödel

Kurt Gödel 's incompleto teoremas establecer las 'limitaciones inherentes de todos, pero la mayoría de los sistemas axiomáticos triviales capaces de hacer aritmética'.

La teoría de tipos de homotopía proporciona una base alternativa para las matemáticas, una base univalente basada en tipos inductivos superiores y el axioma de univalencia . El libro de HoTT explica que los tipos son grupos de grupos superiores, las funciones son functores, las familias de tipos son ﬁ braciones, etc.

El reciente artículo "Matemáticas formalmente verificadas" en CACM por Jeremy Avigad y John Harrison discute HoTT con respecto a las matemáticas formalmente verificadas y la demostración automática de teoremas.

¿Los teoremas de incompletitud de Gödel se aplican a HoTT?

Y si lo hacen,

¿La teoría del tipo de homotopía se ve afectada por el teorema de incompletitud de Gödel (dentro del contexto de las matemáticas formalmente verificadas)?

lo.logic type-systems homotopy-type-theory

— ojo de halcón
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Interesante pregunta. ¿Leyó algo que le sugirió que HTT no sufre de incompletitud de Godel? (Tenga en cuenta que los intentos previos de fundamentos, como la teoría de conjuntos, también sufren de incompletitud de Godel ...)

— Joshua Grochow

HoTT "sufre" de incompletitud de Gödel, por supuesto, ya que tiene un lenguaje computablemente enumerable y reglas de inferencia, y podemos formalizar la aritmética en él. Los autores del libro HoTT eran perfectamente conscientes de su incompletitud. (De hecho, esto es bastante obvio, especialmente cuando la mitad de los autores son lógicos de algún tipo).

Pero, ¿la incompletitud "perjudica" a HoTT? No más que cualquier otro sistema formal, y creo que todo el asunto está un poco equivocado. Déjame probar una analogía. Supongamos que tiene un automóvil que no puede llevarlo a todas partes del planeta. Por ejemplo, no puede trepar verticalmente por una pared. ¿El automóvil está "deteriorado"? Por supuesto, no puede llevarte a la cima del edificio Empire State. ¿Es inútil el auto? Lejos de eso, puede llevarte a muchos otros lugares interesantes. Sin mencionar que el edificio Empire State tiene ascensores.

— Andrej Bauer
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No creo que la analogía del automóvil funcione, ya que la pregunta no es tanto "¿Es inútil el automóvil?" pero "¿Puede el automóvil servir como base de transporte?" Pero, en cualquier caso, el punto fundamental es que cualquier sistema que vaya a ser una base de las matemáticas es necesariamente incompleto.

— David Richerby

Mi punto era que las personas no esperan que exista una máquina de transporte perfecta, y tampoco les preocupa que no exista una, pero de alguna manera les preocupa el hecho de que no haya una base matemática (razonable) completa.

— Andrej Bauer