¿Cuál es la contribución del cálculo lambda al campo de la teoría de la computación?

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Solo estoy leyendo sobre el cálculo lambda para "conocerlo". Lo veo como una forma alternativa de cálculo en lugar de la máquina de Turing. Es una forma interesante de hacer cosas con funciones / reducciones (hablando en términos generales). Sin embargo, algunas preguntas me siguen molestando:

¿Cuál es el punto del cálculo lambda? ¿Por qué pasar por todas estas funciones / reducciones? ¿Cuál es el propósito?
Como resultado, me pregunto: ¿qué hizo exactamente el cálculo lambda para avanzar en la teoría de la CS? ¿Cuáles fueron sus contribuciones que me permitieron tener un momento "aha" de comprender la necesidad de su existencia?
¿Por qué el cálculo lambda no está cubierto en textos sobre teoría de autómatas? La ruta común es pasar por varios autómatas, gramáticas, máquinas de Turing y clases de complejidad. El cálculo de Lambda solo se incluye en el plan de estudios de los cursos de estilo SICP (¿quizás no?). Pero rara vez he visto que sea parte del plan de estudios central de CS. ¿Esto implica que no es tan valioso? Tal vez no y tal vez me falta algo aquí?

Soy consciente de que los lenguajes de programación funcionales se basan en el cálculo lambda, pero no lo considero una contribución válida, ya que se creó mucho antes de que tuviéramos lenguajes de programación. Entonces, ¿de qué sirve conocer / entender el cálculo lambda, sus aplicaciones / contribuciones a la teoría?

— Doctor
fuente

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Un conjunto de respuestas relacionadas explica la diferencia de poder entre el cálculo y los TM: cstheory.stackexchange.com/questions/1117/…

λ

$\lambda$

— Suresh Venkat

44

Quizás la discusión de razones históricas para la adopción de Turing Machine como modelo primario de computación también sea de interés.

— Martin Berger

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En cierto modo, su contribución fue crear el campo. No olvide que a Church se le ocurrió primero el cálculo lambda, pero al principio no fue visto como un modelo universal de cómputo.

— Dan Hulme

En mis estudios principales que tuve, Functional Programmingdiscutí sobre Haskell y un poco de Lisp. El sucesor de eso fue Principles of Programming Languagesque utilizó ML e introdujo el cálculo lambda. Como muestran algunas respuestas, ahí es realmente donde pertenece el cálculo lambda: en una clase sobre lenguajes de programación, mecanografía, etc.

— Shaz

esta pregunta es una relación similar entre TMs y cálculo Lambda y también analiza la precedencia histórica del cálculo Lambda

— vzn

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cálculo tiene dos roles clave. $\lambda$

Es una base matemática simple de comportamiento computacional secuencial, funcional y de orden superior.
Es una representación de pruebas en lógica constructiva.

Esto también se conoce como la correspondencia Curry-Howard . Conjuntamente, la doble visión del cálculo como prueba y como lenguaje de programación (secuencial, funcional, de orden superior), fortalecido por la sensación algebraica del cálculo (que no es compartido por las máquinas de Turing), ha llevado a una transferencia masiva de tecnología entre la lógica, los fundamentos de las matemáticas y la programación. Esta transferencia aún está en curso, por ejemplo, en la teoría del tipo de homotopía . En particular, el desarrollo de lenguajes de programación en general, y las disciplinas de escritura en particular, es inconcebible sin $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ -cálculo. La mayoría de los lenguajes de programación tienen cierto grado de deuda con Lisp y ML (por ejemplo, se inventó la recolección de basura para Lisp), que son descendientes directos del cálculo . Una segunda línea de trabajo fuertemente influenciada por el cálculo son los asistentes de prueba interactivos . $\lambda$ $\lambda$

¿ Hay que saber cálculo para ser un programador competente, o incluso un teórico de la informática? No. Si no le interesan los tipos, los lenguajes de verificación y programación con características de orden superior, entonces probablemente sea un modelo de computación que no sea terriblemente útil para usted. En particular, si está interesado en la teoría de la complejidad, entonces el cálculo probablemente no sea un modelo ideal porque el paso de reducción básico es poderoso: puede hacer un número arbitrario de copias en , entonces $\lambda$ $\lambda$

(λ X . METRO) norte \to_{β} METRO [norte / / X]

$(\lambda x.M) N \rightarrow_{\beta} M[N/x]$

N

$N$

\to_{β}

$\rightarrow_{\beta}$ Es una noción básica poco realista para explicar el costo microscópico de la computación. Creo que esta es la razón principal por la cual la Teoría A no está tan enamorada del cálculo

. Por el contrario, las máquinas de Turing no son muy inspirador para el desarrollo del lenguaje de programación, ya que no existen nociones naturales de la composición de la máquina, mientras que con

-calculus, si

y

son los programas, entonces también lo es

. Esta visión algebraica de la computación se relaciona naturalmente con los lenguajes de programación utilizados en la práctica, y gran parte del desarrollo del lenguaje puede entenderse como la búsqueda e investigación de nuevos operadores de composición de programas.

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

M

$M$

N

$N$

M N

$MN$

$\lambda$

— Martin Berger
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8

Esta es una muy buena respuesta.

— Suresh Venkat

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β

$\beta$

β

$\beta$

β

$\beta$

P

$\mathsf P$

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@DamianoMazza Dado que es un resultado nuevo, no podría haber influido en la historia de la Teoría A. Además, creo que este resultado se cumple solo para algunas nociones de reducción. El documento de IIRC Asperti P = NP, hasta compartir muestra que P y NP colapsan si tienes una estrategia de reducción 'óptima' en el sentido de J.-J. Exacción.

— Martin Berger

66

β

$\beta$

β

$\beta$

β

$\beta$

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$\lambda$ $\lambda$

$\lambda$ $\mu$
$\lambda$
$\mu$ $\lambda$

— Bruno
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$\lambda$

¿Qué hizo exactamente el cálculo lambda para avanzar la teoría de CS?

$\lambda$ $\lambda$ $\lambda$

$\lambda$

— Damiano Mazza
fuente

2

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

π

$\pi$

π

$\pi$

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Si pudiera clonarme a mí mismo, haría un duplicado para examinar P / NP usando BLL y realizabilidad. Las relaciones lógicas parecen no ser "pruebas naturales", la disciplina de tipo lineal garantiza que no se pueda relativizar, y los teoremas de integridad de polytime de BLL parecen permitirle evitar preocuparse por si hay clases de algoritmos que se ha perdido o no. La relación entre la linealidad y la teoría de la representación también sugiere conexiones con GCT. Sin embargo, supongo que todo esto es por lo que estás tentado y frustrado. :)

— Neel Krishnaswami

1

Hola @NeelKrishnaswami, ¿podrías señalarme hacia material de lectura que relacione BLL (lógica lineal limitada) y pruebas naturales?

— Martin Berger

Re B vs. A: el cálculo lambda solo se trata de estructurar mejor los mismos cálculos, pero no puede, por ejemplo, producir mejores algoritmos. Mediante la eliminación de cortes y la propiedad de subformula en el resultado, cualquier programa con un tipo de primer orden se puede escribir sin funciones de primera clase. Pero la eliminación de cortes corresponde a la duplicación de código: por lo tanto, encontramos de nuevo que no necesita funciones de orden superior si está dispuesto a copiar y pegar lo suficiente. (La desfuncionalización de Reynolds le permite evitar incluso el pegado de copias, pero es una transformación global, por lo que es mejor dejarlo a un compilador).

— Blaisorblade

Hablando de manera anecdótica, mi comentario está motivado por la programación con un algoritmo: es genial, pero parece abstraer mucho menos de lo que me parece deseable. No pretendo que sea general, pero afirmo que la abstracción en el código a menudo no es necesaria / enfatizada al escribir algoritmos. (Considere cuántas implementaciones de ordenación rápida integran la función de partición; eso me parece inaceptable).

— Blaisorblade

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Sus preguntas pueden abordarse desde muchos lados. Me gustaría dejar de lado los aspectos históricos y filosóficos y abordar su pregunta principal, que considero que es la siguiente:

¿Cuál es el punto del cálculo lambda? ¿Por qué pasar por todas estas funciones / reducciones?

¿Cuál es el punto de álgebra booleana, o álgebra relacional, o lógica de primer orden, o teoría de tipo, o algún otro formalismo / teoría matemática? La respuesta es que no tienen un propósito inherente para ellos, incluso si sus diseñadores los crearon para algún propósito u otro. Leibniz, al erigir los cimientos del álgebra booleana, tenía en mente cierto proyecto filosófico ; Boole lo estudió por sus propios motivos. El trabajo de de Morgan en Álgebra Relacional también estuvo motivado por varios proyectos suyos; Peirce y Frege tenían sus propias motivaciones para crear la lógica moderna.

El punto es: cualquiera que sea la razón que la Iglesia pudo haber tenido al crear el cálculo lambda, el punto del cálculo lambda varía de un practicante a otro.

Para alguien es una notación conveniente para hablar de cálculos; Una alternativa a las máquinas de Turing, etc.
Para otro, es una base matemática sólida sobre la cual construir un lenguaje de programación más sofisticado (por ejemplo, McCarthy, Stanley).
Para una tercera persona, es una herramienta rigurosa para dar la semántica de los lenguajes naturales y de programación (por ejemplo, Montague, Fitch, Kratzer).

Creo que el cálculo Lambda es un lenguaje formal que vale la pena estudiar por sí mismo. Puede aprender el hecho de que en el cálculo lambda sin tipo tenemos estas pequeñas bestias llamadas 'combinadores en Y', y cómo nos ayudan a definir funciones recursivas y hacer que la prueba de indecidibilidad sea tan elegante y simple. Puede aprender el sorprendente hecho de que existe una correspondencia íntima entre el cálculo lambda simplemente tipeado y un tipo de lógica intuicionista . Hay muchos otros temas interesantes para explorar (por ejemplo, ¿cómo deberíamos dar la semántica del cálculo lambda? ¿Cómo podemos convertir el cálculo lambda en un sistema deductivo como FOL?)

Echa un vistazo a Introducción de Hindley y Seldin a los combinadores y λ-Cálculo para una introducción. The Lambda Calculus de Barendregt es la biblia, así que si estás enganchado después de Hindley y Seldin, hay muchos temas de naturaleza semántica y sintáctica para explorar.

— Hunan Rostomyan
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No estoy comprando este argumento "por sí mismo". El objetivo de un formalismo matemático es dilucidar nuestra comprensión de algún concepto. Lo que se aclara puede desarrollarse con el tiempo, pero a menos que un formalismo nos ayude a pensar más claramente sobre alguna idea, generalmente desaparece. En ese sentido, es válido para aks cómo el cálculo lambda aclara el concepto de computación de una manera que no está subsumida por TM.

— Sasho Nikolov

1

Creo que uno puede estudiar el cálculo lambda sin pensar en la reducción y la sustitución como cálculo. Si estoy en lo cierto y eso es posible, entonces podemos tener interés en el cálculo lambda, incluso si no estamos interesados en la computación. Pero gracias por tu comentario; Intentaré editar mi respuesta en consecuencia tan pronto como tenga la oportunidad.

— Hunan Rostomyan

@SashoNikolov - "de una manera que no está subsumida por TMs". Por definición, eso es imposible, ya que LC y TM son equivalentes. Cualquier cosa que puedas expresar o probar con una, puedes hacerlo con la otra (y viceversa). Por lo tanto, se vuelven redundantes (como ambos lo hacen con la teoría recursiva general, otro formalismo equivalente a TM). ¿Eso significa que deberíamos tirar todos los sistemas equivalentes a TM pero TM en sí? No lo diría, ya que a veces las cosas son más fáciles de expresar en LC que en TM o viceversa. Es solo otra forma de hablar de computabilidad.

— Gabriel L.

1

@GabrielL. Si lee la oración completa, dice "cómo el cálculo lambda aclara el concepto de cálculo de una manera que no está subsumida por TM". Dos definiciones matemáticas que son formalmente equivalentes aún pueden dilucidar el mismo concepto subyacente de maneras diferentes y complementarias. Mi comentario significa que es razonable preguntar qué claridad se obtiene al expresar la computabilidad en términos de cálculo lambda, en lugar de en términos de TM. Esto no se trata en absoluto de equivalencia formal.

— Sasho Nikolov

Lo entendí: logré perder la palabra clave allí de alguna manera. Gracias por la respuesta.

— Gabriel L.

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Turing argumentó que las Matemáticas pueden reducirse a una combinación de símbolos de lectura / escritura, elegidos de un conjunto finito y cambiando entre un número finito de "estados" mentales. Reificó esto en sus Máquinas Turing, donde los símbolos se registran en celdas en una cinta y un autómata realiza un seguimiento del estado.

Sin embargo, las máquinas de Turing no son una prueba constructiva de esta reducción. Argumentó que cualquier 'procedimiento efectivo' puede ser implementado por alguna máquina de Turing, y demostró que una máquina universal de Turing puede implementar todas esas otras máquinas, pero en realidad no dio un conjunto de símbolos, estados y reglas de actualización que implementen las matemáticas. en la forma en que argumentó. En otras palabras, no propuso una 'Máquina de Turing estándar', con un conjunto de símbolos estándar que podamos usar para escribir nuestras Matemáticas.

El cálculo de Lambda, por otro lado, es precisamente eso. Church estaba tratando específicamente de unificar las anotaciones utilizadas para escribir nuestras Matemáticas. Una vez que se demostró que LC y TM son equivalentes, podríamos usar LC como nuestra 'Máquina de Turing estándar' y todos podrían leer nuestros programas (bueno, en teoría;)).

Ahora, podríamos preguntarnos por qué tratar el LC como un dialecto primitivo, en lugar de un TM. La respuesta es que la semántica de LC es denotacional : los términos de LC tienen un significado 'intrínseco'. Hay números de la Iglesia, hay funciones de suma, multiplicación, recursión, etc. Esto hace que la LC esté muy bien alineada con la forma en que se practican las Matemáticas (formales), por lo que muchos algoritmos (funcionales) todavía se presentan directamente en la LC.

Por otro lado, la semántica de los programas TM es operativa : el significado se define como el comportamiento de la máquina. En este sentido, no podemos cortar una sección de la cinta y decir "esto es una suma", porque depende del contexto. El comportamiento de la máquina, cuando llega a esa sección de la cinta, depende del estado de la máquina, las longitudes / desplazamientos / etc. de los argumentos, cuánta cinta se usará para el resultado, si alguna operación anterior ha dañado esa sección de la cinta, etc. Esta es una forma horrenda de trabajar ("Nadie quiere programar una Máquina de Turing"), por eso Muchos algoritmos (imperativos) se presentan como pseudocódigo.

— Warbo
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otras respuestas son buenas, aquí hay un ángulo / razón adicional para considerar que las mallas con otros pueden ser aún más definitivas, sin embargo, puede ser más difícil de tener en cuenta, ya que los viejos orígenes se pierden en las arenas del tiempo:

precedencia histórica!

El cálculo Lambda se introdujo al menos desde 1932 en la siguiente referencia:

A. Church, "Un conjunto de postulados para el fundamento de la lógica", Annals of Mathematics, Series 2, 33: 346–366 (1932).

La máquina de Turing se introdujo en ~ 1936 , por lo que el cálculo Lambda es anterior a la aparición de la TM por varios años.

Turing, AM (1936). "En números computables, con una aplicación al problema de Entscheidungs". Actas de la London Mathematical Society. 2 (1937) 42: 230–265. doi: 10.1112 / plms / s2-42.1.230

en otras palabras, una respuesta básica es que el cálculo Lambda es, en muchos sentidos, el último sistema heredado de TCS. ¡sigue existiendo de la misma manera que Cobol aunque no se desarrolle tanto en el lenguaje! parece ser el primer sistema de computación Turing Complete introducido e incluso es anterior a la idea fundamental de la integridad de Turing. Fue solo un análisis retrospectivo posterior que mostró que el cálculo de Lambda, las máquinas de Turing y el problema de la correspondencia posterior eran equivalentes e introdujeron el concepto de equivalencia de Turing y la tesis de la Iglesia-Turing .

El cálculo de Lambda es simplemente la forma de estudiar la computación desde un punto de vista centrado en la lógica más en términos de representarlo como teoremas matemáticos y derivaciones de fórmulas lógicas, etc. También muestra la profunda relación entre la computación y la recursividad y el acoplamiento más estrecho con la inducción matemática .

Este es un hecho notable porque sugiere que, en muchos sentidos, los orígenes (al menos teóricos ) de la informática fueron fundamentalmente en lógica / matemáticas , una tesis avanzada / expandida en detalle por Davis en su libro Engines of Logic / Mathematicians y los orígenes de la computadora . (por supuesto, los orígenes y el papel fundamental del álgebra booleana también refuerzan aún más ese marco histórico conceptual).

por lo tanto, dramáticamente, ¡incluso se podría decir que el cálculo Lambda es un poco como una máquina del tiempo pedagógica para explorar los orígenes de la informática!

— vzn
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Además, el cálculo Lambda también parece haber sido muy influenciado por Principia Mathica por Whitehead / Russell, que también fue una gran inspiración para Godels thm . parte de esta investigación también se inspiró en el décimo problema de Hilbert a principios de siglo que pedía una solución algorítmica antes de que el "algoritmo" se definiera con precisión (matemáticamente), y de hecho esa búsqueda es en gran medida lo que condujo a la definición técnica precisa posterior.

— vzn

por cierto / aclaración / iiuc, en realidad, los sistemas canónicos de Post fueron estudiados primero por Post y, aparentemente, el problema de correspondencia posterior más simple es un caso especial. También fue Kleene quien jugó un papel decisivo en el desarrollo del concepto de integridad de Turing (no nec bajo ese nombre) al ayudar a probar que los 3 sistemas principales son intercambiables / equivalentes (TM, cálculo Lambda, sistema post canónico).

— vzn

vea también Historia de la tesis de la Iglesia-Turing wikipedia que rastrea muchos detalles históricos / interrelaciones

— vzn

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Me está costando mucho no ofenderme en la comparación de Cobol.

— Neil Toronto

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Acabo de encontrar esta publicación y, a pesar de que mi publicación llegó bastante tarde en el día (¡año!), Pensé que quizás mi "valor de un centavo" podría ser de alguna utilidad.

Mientras estudiaba el tema en la universidad, tuve un pensamiento similar al respecto; entonces, le planteé la pregunta de "por qué" al profesor y la respuesta fue: "compiladores". Tan pronto como lo mencionó, el poder detrás de la reducción y el arte de evaluar la mejor manera de manipularla de repente hicieron que el propósito de por qué fuera y siga siendo una herramienta potencialmente útil.

Bueno, por así decirlo fue mi momento "ajá".

En mi opinión, a menudo consideramos lenguajes de alto nivel, patrones, autómatas, complejidad de algoritmos, etc. útiles porque podemos relacionarlos con la 'tarea' en cuestión; mientras que el cálculo de lamdba parece demasiado abstracto. Sin embargo, todavía hay quienes trabajan con idiomas en un nivel bajo, y me imagino que el cálculo lambda, el cálculo de objetos y otras formalizaciones relacionadas los han ayudado a comprender y tal vez desarrollar nuevas teorías y tecnologías de las que el programador promedio puede beneficiarse. De hecho, probablemente no sea un módulo central por esa razón, pero (por las razones que he dicho) habrá unos pocos, además de los académicos, que pueden encontrarlo integral en su carrera profesional en informática.

— usuario30412
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¿Cuál fue el "ajá" en los compiladores ?

— PhD

Su último párrafo parece completamente especulativo y nunca explica por qué la palabra "compiladores" responde a la pregunta.

— David Richerby

@PhD: la reducción y la sustitución beta no se usan al ejecutar programas, sino que se usan dentro de los compiladores de optimización. Esa no es la importancia principal del cálculo lambda, pero es una aplicación muy concreta.

— Blaisorblade