Transformaciones naturales y parametricidad

En teoremas gratis! , Wadler dice que la caracterización de la parametricidad se puede volver a expresar en términos de transformaciones naturales laxas y este será el tema de otro artículo. ¿A qué papel se refiere?

El enfoque categórico de la paramtericidad que conozco utiliza transformaciones dinaturales como en el Polimorfismo Funcional de Bainbridge, Freyd, Scedrov y PJ Scott. ¿Cuál es la conexión entre la transformación natural laxa y las formulaciones de parametricidad de transformación dinatural?

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— sonat
fuente

Casi tengo miedo de hacer este comentario, pero confesaré que no entiendo ninguna palabra técnica en esta pregunta. ¿Sería posible agregar algunos enlaces a las definiciones de este (horriblemente) no experto?

— Suresh Venkat

Parece un trabajo para @UdayReddy.

— Dave Clarke

Hasta donde yo sé, el artículo mencionado en Theorems for Free! fue (tristemente) nunca escrito. Estoy bastante seguro de que la comprensión actual de la parametricidad en términos de teoría de categorías se capta mejor con Scones y las categorías de coma . Ver, por ejemplo, Mitchell & Scedrov y esta publicación de n-Category Café.

— cody

Suresh, lo siento por no proporcionar los enlaces relevantes. Cody, gracias por editar la publicación y mencionar los bollos y las categorías de coma.

— sonat

Desafortunadamente, el comentario de Wadler es demasiado críptico para que pueda decir qué uso quería hacer de las "transformaciones naturales laxas". Aquí hay una suposición. Los cuadrados de preservación de la relación a menudo se pueden reformular como cuadrados conmutativos laxos. Así es como solían escribirse en viejos documentos / libros de teoría de autómatas. Vea el párrafo 1.2 en mis Notas sobre Semigrupos . Para hacer este tipo de cosas, debes mezclar relaciones y morfismos y pretender que son lo mismo. Tampoco estoy seguro de que te compre algo nuevo. Es una notación más fea por decir lo mismo que la preservación de la relación.

Por favor, siéntase libre de explorar la conexión, pero no estoy seguro de que encontrará algo nuevo al hacerlo.

— Uday Reddy
fuente

Muchas gracias por el enlace. La formulación en el párrafo 1.2 todavía está establecida teóricamente para mí. ¿Cómo se habla de inclusión? ¿Asume que la categoría es una alegoría o tiene propiedades similares a topos? Si se trata de una reformulación de transformaciones naturales laxas, ¿cuál es la categoría 2 subyacente? También leí la parte "Categorización" pero no pude encontrar nada sobre las transformaciones naturales laxas.

— sonat

x \to y

$x \to y$

x \leq y

$x \leq y$

f \to g

$f \to g$

f \leq g

$f \leq g$

R \subseteq S : Rel (A, B)

$R \subseteq S : \textbf{Rel}(A,B)$

¡Oh, entonces la categoría es fija! Pensé que Wadler se refería a una formulación más general y abstracta que tiene sentido en una cierta clase de categorías que contienen Rel como un caso especial (y algo trivial). Si estamos trabajando solo en Rel, no tiene sentido introducir una estructura más alta pero degenerada. Ahora entiendo tu respuesta original.

— sonat

@ SonatSüer: Si le interesan las generalizaciones, la forma estándar de generalizar las relaciones con categorías distintas de Set es tratarlas como "tramos monóticos conjuntos". Es posible que obtenga una categoría enriquecida en preorden en lugar de enriquecida en poset, pero la estructura de 2 categorías sigue siendo la misma.

— Uday Reddy

@ SonatSüer: Y, si está realmente interesado en una teoría axiomática adecuada que cubra todo lo que sabemos, puedo remitirlo a nuestro reciente documento Relaciones lógicas y parametricidad: un programa de Reynolds .

— Uday Reddy