¿Teoremas naturales probados solo “a alta probabilidad”?

Hay muchas situaciones en las que una "prueba" aleatorizada es mucho más fácil que una prueba determinista, siendo el ejemplo canónico la prueba de identidad polinómica.

Pregunta : ¿Hay algún "teorema" matemático natural donde se conozca una prueba aleatoria pero no una prueba determinista?

Por una "prueba aleatoria" de una declaración quiero decir que $P$

Hay un algoritmo aleatorio que toma una entrada y si es falso produce una prueba determinista de con una probabilidad de al menos . $n > 0$ $P$ $\neg P$ $1-2^{-n}$
Alguien ha ejecutado el algoritmo para, por ejemplo, , y no ha refutado el teorema. $n = 100$

Es fácil generar enunciados no naturales que se ajusten: simplemente elija una instancia grande de cualquier problema donde solo se conozca un algoritmo aleatorio eficiente. Sin embargo, aunque existen muchos teoremas matemáticos con "mucha evidencia numérica", como la hipótesis de Riemann, no conozco ninguno con evidencia aleatoria rigurosa de la forma anterior.

— Geoffrey Irving
fuente

@Kaveh: Gracias por las correcciones de categoría. No estaba seguro de a qué someterlo.

— Geoffrey Irving

otra dirección, estudiando literatura de "aleatorización" (buscando una buena encuesta también). ¿No fue el relativamente reciente (galardonado) teorema de Reingold también un caso de esto (de nuevo antes de la prueba)?

— vzn

Bueno, cualquier problema con una prueba determinista apoyada en el ERH (como solía ser Primes) tendría esta propiedad

— Suresh Venkat

Lamento decirlo, pero no creo que su pregunta tenga sentido, ya que no puede haber tales declaraciones, naturales o no. Usted escribe que N es un primo que solía ser un buen ejemplo, pero (por supuesto) siempre ha habido una prueba determinista de primalidad, solo un poco más. Tampoco puedo imaginar cómo definiría la probabilidad de éxito de un algoritmo que se supone que refuta una declaración de corrección. Tal vez desee solicitar una prueba eficiente para una clase de problemas (es decir, la entrada sería P y ny la declaración P (n)), pero luego llegamos a la teoría de la complejidad y la definición de BPP.

— domotorp

domotorp: Es cierto que (suponiendo que el algoritmo use un número limitado de bits aleatorios) cualquier prueba aleatoria de este tipo puede ser aleatorizada con algún costo de rendimiento. Sin embargo, estoy preguntando sobre ejemplos en los que el costo de rendimiento es lo suficientemente alto como para que la prueba determinista no se haya ejecutado hasta la fecha, mientras que la prueba aleatoria sí. Creo que las definiciones tienen sentido en este contexto.

— Geoffrey Irving

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ Este no es un ejemplo de lo que está pidiendo, pero sugiere cómo puede surgir tal ejemplo. Algunas identidades combinatorias pueden codificarse como identidades sobre polinomios de grado limitado . Si los polinomios son univariados, para demostrar la identidad es suficiente verificarlo en puntos. Sin embargo, si los polinomios son multivariados y el grado es al menos moderadamente grande, el lema Scwartz-Zippel puede ser la única forma práctica de verificar la identidad. $d$ $d+1$

Para ver un ejemplo del caso univariante, consulte este artículo de Zeilberger, resolviendo una cuestión de Knuth. Él prueba una declaración sobre estadísticas de permutaciones. Para una permutación , deje que sea el número de inversiones de , y dejar que el índice mayor de $\pi \in S_n$ $\inv(\pi)$ $|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$ $\pi$ $\maj(\pi)$ ser la suma de todos los enteros en el conjunto . Zeilberger demuestra que, para todo , la covarianza de las dos estadísticas es $\pi$ $\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$ $n$

mi [(inv (π) - mi [inv (π)]) \cdot (comandante (π) - mi [comandante (π)])] = \frac{1}{4 4} (\binom{norte}{2}),

$\mathbb{E}[(\inv(\pi) - \mathbb{E}[\inv(\pi)])\cdot(\maj(\pi) - \mathbb{E}[\maj(\pi)])] = \frac{1}{4}{n \choose 2},$ donde todas las expectativas están por encima de un uniformemente aleatorio en . La prueba de Zeilberger es solo una verificación por computadora para , y una observación de que la declaración es equivalente a una identidad entre polinomios en de grado como máximo .

π

$\pi$

S_{n}

$S_n$

n \in {1, 2, 3, 4, 5}

$n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

n

$n$

4

$4$

— Sasho Nikolov
fuente

Gracias, ese es un artículo encantador. Me gusta bastante la moraleja.

— Geoffrey Irving