Coloración de gráficos minimizando la cantidad de colores en cada conjunto independiente

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¿Se conoce el siguiente reclamo?

Reclamación : Para cualquier gráfico con vértices existe una coloración de tal que cada conjunto independiente está coloreado como máximo por $G$ $n$ $G$ colores. $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— Igor Shinkar
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Conozco la siguiente afirmación, pero es posible que no cuente porque no está publicada: cualquier gráfico en vértices puede colorearse de modo que cualquier subgrafía inducida de número cromático a lo sumo use como máximo colores , donde . $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

Esta es una prueba por inducción; la motivación era considerar los colores que usan pocos colores no solo en el gráfico sino también en todos los subgrafos inducidos. Sin embargo, no conozco ningún resultado publicado.

— Aravind
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No es exactamente lo que pide, pero aquí hay un límite inferior: un gráfico para el que cualquier coloración dará como resultado un conjunto independiente coloreado por colores: $\sqrt{n}$

Tomar copias de $\sqrt{n}$ , y conecta todos los vértices a un solo vértice. $K_{\sqrt{n}}$ $s$

Obviamente, cada conjunto de vértices de diferentes's son independientes, y en cada copia de $\sqrt{n}$ $K$ puede encontrar al menos un color "nuevo". $K_{\sqrt{n}}$

Este límite inferior se puede mejorar fácilmente a o así si conectamosa un solo vértice, pero solo permanece $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ colores. $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
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El segundo ejemplo no parece mejorar el límite. Creo que cualquier IS puede ser coloreado usando

. Por ejemplo, para n = 9,

está coloreado de azul,

de verde y rojo y

de azul, verde y rojo. Cualquier IS máximo está coloreado por 2 colores, no 3.

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

No estoy seguro de lo que quieres decir. El segundo ejemplo mejora el límite, pero no asintóticamente. Puedes construir un ~

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

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t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

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$\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Súper 8
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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

1

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

(en la solicitud de combinación de perfil) meta es un buen lugar para publicar dicha solicitud.

— Suresh Venkat