¿Qué tan malo puede ser el color codicioso (color de la lista) para el número de gráfico c-cromático?

El número c-cromático se define en el papel Particiones de gráficos en cografías . Pide el número mínimo de colores utilizados para colorear los vértices, de modo que cada clase de color sea un cograma . Cograph es un gráfico libre de P4 , es decir, no hay una ruta inducida de longitud 3.

El documento denota el número c-cromático como y demuestra que en el Comentario 12 en la página 4. La prueba se puede utilizar para Convierta cualquier coloración a una coloración como máximo de colores, en tiempo polinómico.$c(G)$$c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$ $\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

En el estudio de la coloración gráfica clásica, es decir, el número cromático , se discutió la coloración codiciosa . El rendimiento del color codicioso está determinado por el orden de los vértices. En el peor de los casos, un gráfico necesita colores mientras que . Esto implica que la relación de aproximación del color codicioso es arbitrariamente mala.$\chi(G)$$\frac{|V|}{2}$$\chi(G)=2$

Del mismo modo, cuando estamos coloreando el gráfico en cografías, podemos usar el color codicioso. Dado un orden de vértices, etiquete cada vértice con el color más pequeño (suponga que los colores están etiquetados como 1, 2, 3, ...) de modo que cada clase de color sea un cograma.

Mi pregunta es:

1. ¿Cuál es el peor comportamiento de la coloración codiciosa en la cografía?
2. ¿Es posible que la coloración codiciosa necesite más que colores?$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

buena pregunta. Considere la siguiente construcción: construir k P3s numerados / ordenados como 1-2-3 4-5-6 7-8-9, etc. Ahora 1-2-3 todos obtienen el color R por el esquema codicioso. Haz 4,5,6 todos adyacentes a 3. Luego 4,5,6 cada uno obtiene color B. Ahora haz vértices 7,8,9 adyacentes a 3 y a 6, entonces no pueden obtener los colores R o B. Obtienen Y.

Continuar con 10-11-12, con 10,11,12 adyacente a 3,6,9. No se pueden colorear con RBY, por lo que obtienen G.

Estos 3k vértices necesitarán k = n / 3 colores. Pero tenga en cuenta que c (G) es 2, ya que el conjunto {3,6,9,12, etc.} induce una camarilla, y el resto del gráfico induce una coincidencia perfecta. Entonces, esto muestra que el color codicioso todavía puede ser arbitrariamente malo para el color del cograph también.

Podemos modificar esta construcción para reducir el grado máximo también ... 4,5,6 son adyacentes a 3, pero hacen 7,8,9 aún adyacentes a 6 pero ahora adyacentes a 1 en lugar de 3. Luego hacen 10, 11,12 adyacentes a 9, 4 (en lugar de 6) y 3. Y para futuros trillizos, sigue alternando a qué vértice final de un P3 anterior al que se unen. El gráfico resultante probablemente ya no sea particionable en 2 cografías, pero observe que 2,5,8,11, etc. forman un conjunto independiente y el resto probablemente sea codiciable con 2 cografías más, pero no estoy muy seguro. Pero no creo que esto sea importante ... lo importante aquí es que el grado máximo es lo suficientemente bajo como para que el color codicioso use más de colores (para responder a su segunda pregunta. )$\frac{1+\Delta}{2}$

Otra pregunta interesante sería si una coloración codiciosa "más inteligente" (como LexBFS) produciría una aproximación de proporción constante.