El número de estados de autómatas locales.

Un autómata determinista se llama -local para si para cada el conjunto contiene como máximo un elemento. Intuitivamente, eso significa que si una palabra de longitud conduce a un estado, entonces este estado es único, o dicho de manera diferente de una palabra arbitraria de longitud los últimos símbolos determinan el estado al que conduce.$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$k > 0 w ∈ X k { δ ( q , w ) : q ∈ Q } w k > k $k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$$> k$$k$

Ahora, si un autómata es -local, entonces no necesita ser -local para algunos , pero tiene que ser -local para porque los últimos símbolos de alguna palabra determina el estado, si lo hay, únicamente.k ′ k ′ < k k ′ k ′ > k | w | > $k$$k'$$k' < k$$k'$$k' > k$$|w| > k$

Ahora trato de conectar el número de estados y la localidad de un autómata. Conjetura:$k$

Lema: Sea ser -local, si entonces el autómata también es-local.k | Q | < k | Q $\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

Pero no pude probar, ¿alguna sugerencia o idea?

Espero por este lema para derivar algo sobre el número de estados de un autómata que no es -local para todos dado un fijo , pero -local para algunos .k ≤ N N > 0 k k > $k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

Como usted dice que debe tener como máximo un elemento, supondré que usa la versión de DFA donde puede ser parcial. Entonces este es un contraejemplo: para , y . y obviamente no importan para esta pregunta.δ X = { a , b } , Q = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } , δ ( q , a ) = q + 1 q < 4 δ ( 1 , b ) = 2 $T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$F q $\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

El autómata es -local, pero no -local, ya que .5 T a b a a b = { 0 , 3 $6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Editar: este contraejemplo no funciona, lo guardaré para que los comentarios tengan sentido. Sin embargo, lo siguiente sí.

Tome , con las transiciones . Este autómata es -local, pero no -local: para , obtenemos las rutas y , es decir .0 → 1 ( a ) , 1 → 2 ( a ) , 2 → 3 ( a ) , 2 → 0 ( b ) , 3 → 2 ( b ) 5 4 a a b a 0 $X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$$4$$aaba$1 → 2 → 3 → 2 → 3 T a a b a = { 1 , 3 $0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Una respuesta tardía, pero el límite de la demora de sincronización se ha estudiado para varias clases de autómatas: ver, por ejemplo, Autómatas inequívocos; Béal y col. MCS'08 .

En particular; hay una familia de autómatas deterministas que tienen retraso como se muestra en Al límite del retraso de sincronización de un autómata local; Béal y col. TCS'98 , que coincide con un límite superior .O ( | Q | 2$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PD: el retraso de sincronización definido en el documento es el mínimo para el cual el autómata local determinista es -local.$k$$k$