Un problema de decisión que no se sabe que está en PH pero estará en P si P = NP

Editar : como Ravi Boppana señaló correctamente en su respuesta y Scott Aaronson también agregó otro ejemplo en su respuesta , la respuesta a esta pregunta resultó ser "sí" de una manera que no esperaba en absoluto. Primero pensé que no respondían la pregunta que quería hacer, pero después de pensarlo, estas construcciones responden al menos a una de las preguntas que quería hacer, es decir, "¿Hay alguna forma de probar un resultado condicional? P = NP ⇒ L ∈P 'sin probar el resultado incondicional L ∈PH? ”¡Gracias, Ravi y Scott!

¿Existe un problema de decisión L tal que se cumplan las siguientes condiciones?

• No se sabe que L esté en la jerarquía polinómica.
• Se sabe que P = NP implicará L ∈P.

Un ejemplo artificial es tan bueno como uno natural. Además, aunque uso la letra " L ", puede ser un problema prometedor en lugar de un idioma si ayuda.

Antecedentes . Si sabemos que un problema de decisión L está en la jerarquía polinómica, entonces sabemos que "P = NP ⇒ L ∈P". La intención de la pregunta es preguntar si lo inverso es válido. Si existe un lenguaje L que satisfaga las dos condiciones anteriores, entonces puede considerarse como una evidencia de que lo contrario falla.

La pregunta ha sido motivada por el interesante comentario de Joe Fitzsimons a mi respuesta a la pregunta de Walter Bishop " Consecuencias de #P = FP ".

Como no le importa un lenguaje artificial, ¿qué le parece definir que esté vacío si P es igual a NP y ser el problema de detención si P no es igual a NP? De acuerdo, es un poco tramposo, pero creo que tendrás que reformular el problema para evitar tales tramposos. $L$

Si un ejemplo artificial es realmente tan bueno como uno natural, ¡entonces sí puedo dar ese ejemplo!

Editar: Además, mi ejemplo es "algo" menos engañoso que el sugerido por Ravi Boppana (donde tomamos L como el idioma vacío si P = NP y el problema de detención de lo contrario), en eso definiré el idioma L dando un procedimiento finito para decidir si L para cualquier entrada x. En ningún momento se decidirá si x∈L requiere resolver una pregunta matemática "ilimitada" como P vs. NP.$x \in$

Sin más preámbulos: dejar que ser una enumeración de máquinas Polytime Turing. Para todo n , sea M t ( n ) el primer lexicográfico M i que decida correctamente 3SAT en todas las entradas de longitud n o menos. Luego defina el lenguaje L de la siguiente manera: para todas las entradas x de tamaño n , x ∈ L si y solo si la máquina de Turing codificada por x se detiene como máximo n t ( n $M_1, M_2, ...$$n$$M_{t(n)}$$M_i$$n$$x$$n$$x \in$$x$$n^{t(n)}$ pasos cuando se ejecuta en una cinta en blanco.

Reclamación 1: Si P = NP, entonces L P.$\in$

Prueba: si P = NP, entonces hay algo de fijo que resuelve 3SAT para todas las entradas; por lo tanto t ( n ) ≤ i para todo n . QED$M_i$$t(n) \le i$$n$

Reclamación 2: si P NP, entonces L ∉ P.$\ne$$\notin$

Prueba: si aumenta sin límite, entonces simplemente podemos aplicar el Teorema de la Jerarquía de Tiempo. QED$t(n)$

Ahora, no solo L no está en P suponiendo P NP: ¡se supone que tampoco estaría en PH (o incluso PSPACE)!$\ne$

Por cierto, me pregunto si alguien puede mejorar la construcción anterior, para obtener un lenguaje L que está en P si P = NP, pero probablemente no en PH o PSPACE si P NP?$\ne$

Respondiendo a la pregunta de Scott Aaronson, pero un poco demasiado largo para un comentario, aquí hay una construcción de un lenguaje tal que P = N P implica L ∈ P , pero P ≠ N P implica L ∉ P H .$L$$P = NP$$L \in P$$P \neq NP$$L \notin PH$

Sean y t ( n ) como en la construcción de Scott. Hacemos que L no se reduzca a Σ k S A T para cada k , pero solo hacemos esto si t ( n ) → ∞ (es decir, si P ≠ N P ). La construcción se desarrolla por etapas. En la etapa s = ( i , j $M_1, M_2, M_3, \dotsc$$t(n)$$L$$\Sigma_{k} SAT$$k$$t(n) \to \infty$$P \neq NP$$s=(i,j)$(usando algunos biyección fácilmente computable y fácilmente invertible ), nos aseguramos de que M i no es un mucho-uno reducción de L a Σ j S A T . Supongamos que n s es el menor entero tal que t ( n s ) > t ( n s - 1 ) (caso base: n 0 = 1 ). Si existe tal número entero n s , establezca$\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$$M_i$$L$$\Sigma_{j} SAT$$n_{s}$$t(n_{s}) > t(n_{s-1})$$n_{0} = 1$$n_{s}$ . Si no existe tal número entero n es , dejamos que L estar vacío para siempre.$L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$$n_{s}$$L$

Si , entonces t ( n ) → ∞ como n → ∞ , así que siempre hay un tal n s , por lo tanto L no se encuentra en P H . Si P = N P , entonces mi L es sólo un número finito diferente de de Scott L , y por lo tanto está en P .$P \neq NP$$t(n) \to \infty$$n \to \infty$$n_{s}$$L$$PH$$P = NP$$L$$L$$P$