El circuito booleano más pequeño para generar un lenguaje

Considere un lenguaje no vacío de cadenas binarias de longitud n . Puedo describir L con un circuito booleano C con n entradas y una salida de modo que C ( w ) sea ​​verdadero si f w ∈ L : esto es bien conocido.$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

Sin embargo, quiero representar con un circuito booleano C ' con n salidas y un cierto número de entradas, digamos m , de manera que el conjunto de los valores de salida de C ' para cada uno de los 2 m posibles entradas es exactamente L .$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

Dado , ¿cómo puedo encontrar dicho circuito C ' de tamaño mínimo y cuál es la complejidad? ¿Existe alguna relación entre los límites conocidos sobre el tamaño de los circuitos del primer tipo ( C ) y los circuitos de este segundo tipo ( C ' ), o la complejidad de encontrarlos?$L$$C'$$C$$C'$

(Observe que hay algún tipo de dualidad en el siguiente sentido: dado , puedo decidir fácilmente si una palabra de entrada w está en L evaluando el circuito, pero es NP-difícil en general encontrar alguna palabra en L encontrando una asignación tal que la salida sea verdadera. Dado C ' es igualmente NP-difícil decidir si alguna palabra de entrada w está en L porque tengo que ver si una asignación produce w como salida, pero es fácil encontrar alguna palabra en L evaluando el circuito en cualquier entrada arbitraria.)$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Señalaré una conexión simple a circuitos no deterministas y comentaré brevemente sobre la dureza criptográfica.

Para , defina la complejidad de la imagen, denotada i m c ( S ) , como el número mínimo de puertas en cualquier circuito booleano C ( { 0 , 1) } m → { 0 , 1 } n cuya imagen es S . La pregunta se refiere a la complejidad de la computación i m c ( S ) , dada una representación de tabla de verdad de $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$(una cadena de longitud ).$2^n$

También defina la complejidad del circuito no determinista de , que denotaremos n c c ( S ) , como el circuito no determinista más pequeño C ( x , y ) : { 0 , 1 } n + m ′ → { 0 , 1 } aceptando exactamente S . Es decir, requerimos de C que x ∈ S iff ∃ y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$ . Esta es una noción estándar, utilizada para definir la clase no uniforme N P / p o l y : es la clase de todos los conjuntos S = { S n } n > 0 , con S n ⊆ { 0 , 1 } n , tal que n c c ( S n ) ≤ p o l y ( n ) .$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

Lo que quería señalar es que . Ambas direcciones de esta desigualdad son simples de verificar. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

Supongamos que denota la complejidad del circuito determinista. Usando Razborov-Rudich, el artículo que menciona Dai Le muestra (más o menos aquí) que, bajo ciertos supuestos criptográficos, es computacionalmente difícil distinguir las tablas de verdad de S con d c c ( S ) pequeñas, de las tablas de verdad de verdad al azar S (con d c c ( S ) casi máximo). Random S también tiene n c c ( S ) casi al máximo, y por supuesto tenemos$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$ . Entonces su problema es difícil bajo los mismos supuestos.$ncc(f) \leq dcc(f)$

¿Qué es más difícil de calcular dada una tabla de verdad para , d c c ( S ) o n c c ( S ) ? ¿Hay alguna reducción de cualquier manera? No lo sé.$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Deberías echar un vistazo a este artículo de Kabanets y Cai. Citaré el resumen del artículo:

$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

$C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$