Algoritmos exactos de tiempo exponencial para programas 0-1 con datos no negativos

¿Existen algoritmos conocidos para el siguiente problema que superen al algoritmo ingenuo?

Entrada: matriz y vectores , donde todas las entradas de son enteros no negativos.b , c A , b , $A$$b,c$$A,b,c$

Salida: una solución óptima a .$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

Esta pregunta es una versión refinada de mi pregunta anterior Algoritmos de tiempo exponencial exacto para la programación 0-1 .

Si el número de coeficientes distintos de cero en $A$ es lineal en $n$ , existe un algoritmo que resuelve este problema en menos de $2^n$ tiempo.

Así es como funciona. Usamos la conexión estándar entre un problema de optimización y su correspondiente problema de decisión. Para probar si existe una solución donde y , formaremos un problema de decisión: adjuntaremos la restricción a la matriz , y probaremos si existe alguna tal que y . En particular, formaremos una nueva matriz tomando y agregando una fila adicional que contenga , y formaremos tomando$x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$y junto a una fila adicional con . Obtenemos un problema de decisión: ¿existe tal que ? La respuesta a este problema de decisión nos dice si existe una solución al problema de optimización original de valor o mayor. Además, como se explica en la respuesta a su pregunta anterior , este problema de decisión se puede resolver en menos de tiempo, si el número de coeficientes distintos de cero en es lineal en (y, por lo tanto, si el número de coeficientes cero en es lineal en ). Ahora podemos usar la búsqueda binaria en$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$$\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$$\alpha$para resolver su problema de optimización en menos de tiempo.$2^n$

Agradezco a AustinBuchanan y Stefan Schneider por ayudar a depurar una versión anterior de esta respuesta.

Si consideramos el problema de minimización , entonces la siguiente reducción muestra que un algoritmo se ejecuta en el tiempo para refutaría el SETH. Una reformulación demuestra el mismo resultado para el problema deseado (la versión de maximización).O ( 2 δ n / 2 ) δ < $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$$O(2^{\delta n/2})$$\delta <1$

Dada una instancia de CNF-SAT con variables , formule una IP 0-1 con dos variables para cada variable en la instancia SAT. Como de costumbre, la cláusula se representaría como . Luego, para cada variable en la instancia SAT, agregue una restricción . El objetivo es minimizar . El objetivo de la IP será si la instancia SAT es satisfactoria.$\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$$\{x_j \}_{j=1}^n$$y_j, \overline{y}_j$$x_j$$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$$y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$$x_j$$y_j + \overline{y}_j \ge 1$$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$$n$

Gracias a Stefan Schneider por la corrección.

Actualización: en Problemas tan difíciles como CNF-Sat, los autores conjeturan que SET COVER no se puede resolver en el tiempo , , donde refiere al número de conjuntos. Si es cierto, esto demostraría que mi problema no puede resolverse en el tiempo también.δ < 1 n O ( 2 δ n$O(2^{\delta n})$$\delta <1$$n$$O(2^{\delta n})$

Actualización 2. Por lo que puedo decir, suponiendo que SETH, mi problema no se puede resolver en el tiempo , ya que se ha demostrado que Hitting Set (con un conjunto de tierra de tamaño ) no se puede resolver resuelto en el tiempo .n O ( 2 δ n$O(2^{\delta n})$$n$$O(2^{\delta n})$