Número máximo de caminos internos de longitud impar disjuntos de vértice interno

Deje que sea ​​un gráfico simple no dirigido y deje que sean vértices distintos. Deje que la longitud de una ruta st simple sea el número de aristas en la ruta. Estoy interesado en calcular el tamaño máximo de un conjunto de rutas st simples, de modo que cada ruta tenga una longitud impar, y los conjuntos de vértices de cada par de rutas se intersecten solo en syt. En otras palabras, estoy buscando el número máximo de caminos st internos de longitud impar disjuntos de vértice. Creo que esto debería ser computable en tiempo polinómico mediante técnicas de emparejamiento o basadas en el flujo, pero no he podido encontrar un algoritmo. Aquí está lo que sé del problema.$G$$s,t \in V(G)$

1. Podemos reemplazar la restricción de longitud impar por longitud par; esto realmente no afecta el problema ya que uno se transforma en el otro si subdividimos todos los bordes incidentes en s.

2. Si no hay restricción en la paridad de las rutas, el teorema de Menger da la respuesta, que se puede obtener calculando un flujo máximo.

3. El problema de determinar el número máximo de ciclos de longitud impar de vértice disjunto que se intersecan en pares solo en un vértice v dado es computable en tiempo polinómico mediante un truco coincidente: construya un gráfico G 'como la unión disjunta de y$(G - {v})$$(G - N_G[v])$ , agregando bordes entre dos copias del mismo vértice; una coincidencia máxima en este gráfico de tamaño implica que el número máximo de ciclos impares a través de v es k ; esta construcción se describe en la prueba del Lema 11 de$|V(G)| - |N_G[v]| + k$$v$$k$Sobre la variante impar-menor de la conjetura de Hadwiger .

4. Si se dirige el gráfico, entonces la prueba de la existencia de una sola ruta st de longitud par ya está completa NP.

5. El documento El problema de la ruta par para gráficos y dígrafos de Lapaugh y Papadimitriou puede ser relevante, pero desafortunadamente nuestra biblioteca no está suscrita al archivo en línea y no tenemos una copia impresa.

Cualquier idea será muy apreciada!

En primer lugar nota que: dado un gráfico , dos vértices distinguidos s , t ∈ V y un número entero k , el problema de decidir si hay k internamente vértice-disjuntos caminos de longitud impar entre s y t es polinomialmente equivalente a decidir si existe k caminos incluso de longitud entre s y t . La reducción es fácil. Para reducir de un caso a otro, simplemente subdividir cada borde adyacente a t . Deje G $G=(V,E)$$s,t \in V$$k$$k$$s$$t$$k$$s$$t$$t$$G'$Ser el gráfico obtenido. Entonces tiene k caminos de vértice-disjuntos de longitud impar entre s y t FIB G ' tiene k caminos de vértice-disjuntos incluso de longitud entre s y t .$G$$k$$s$$t$$G'$$k$$s$$t$

Por lo tanto, si uno de estos problemas es NP completo, también lo es el otro. Ahora Itai, Perl y Shiloaj muestran que el problema de decidir si existen caminos vértice-disjuntos de longitud cinco entre s y t es NP-completo [ La complejidad de encontrar caminos máximo disjuntos con limitaciones de longitud . Networks, Volumen 12, Número 3, páginas 277--286, 1982.] La reducción es de 3SAT y en el gráfico construidos, las trayectorias de longitud impar entre s y t tienen longitud exactamente cinco. De ahí el problema de Vertex-Disjoint Odd Length Paths en NP-complete y también lo es Vertex-Disjoint Even Length Paths.$k$$s$$t$$s$$t$

Espero que esto ayude.

(No es una respuesta, pero aún no puedo comentar) Creo que la respuesta anterior no funciona, porque no garantiza que las rutas sean vértices disjuntas. Un camino podría usar u ', y el otro u "en G'; en G usarían el mismo vértice u.