Atención: ¡Esta es una respuesta parcial basada en conjeturas y rumores! Mientras que el problema más general de David Eppstein es NP-completo, quizás este esté en P.
Digamos que un gráfico bipartito con es "UPMX" si es extensible a un gráfico con una coincidencia perfecta única. Estas son algunas condiciones necesarias para UPMX:| A | = | B | = n(A∪B,E)|A|=|B|=n
- no debe contener 2 combinaciones perfectas,
- la secuencia de grados de A, cuando se ordena en orden creciente, debe ser componente , y también para B. Llamaré a esto la "condición de grado".≤(1,2,...,n)
Hasta ahora, no he podido encontrar ningún ejemplo en el que un gráfico cumpla estas condiciones, pero no puede ser UPMX. En ese caso, tal vez sean suficientes. Uno podría probar esto con el siguiente algoritmo:
- si el gráfico tiene> 1 coincidencias perfectas, devuelve "no UPMX"
- si el gráfico falla la condición de grado, devuelve "no UPMX"
- si el gráfico tiene = 1 coincidencia perfecta, devuelve "UPMX"
- de lo contrario, tal vez podamos mostrar que es UPMX. Quizás el siguiente algoritmo podría probarlo:
- mientras que el gráfico tiene bordes,≤(n+12)−2
- encuentre un nuevo borde e cuya adición no cree una coincidencia perfecta y no viole la condición de grado; agregue e al gráfico
- ahora el gráfico tiene aristas y ninguna coincidencia perfecta, y satisface la condición de grado. Creo que no es demasiado difícil mostrar que es UPMX, por lo tanto, también lo fue el gráfico original.(n+12)−1
Puede caracterizar qué nuevas aristas crearían una coincidencia perfecta utilizando el teorema de Hall, y no es difícil caracterizar qué nuevas aristas violarían el límite de grado. Desafortunadamente, incluso si es cierto que siempre existe un borde del tipo correcto, no he podido probarlo.