Ordenamiento topológico positivo, tomar 3


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Supongamos que tenemos una matriz n por n. ¿Es posible reordenar sus filas y columnas de manera que obtengamos una matriz triangular superior?

Esta pregunta está motivada por este problema: ordenamiento topológico positivo

El problema de decisión original es al menos tan difícil como este, por lo que un resultado de completitud NP también lo resolvería.

Editar: Laszlo Vegh y Andras Frank llamaron mi atención sobre un problema equivalente preguntado por Gunter Rote: http://lemon.cs.elte.hu/egres/open/Graphs_extendable_to_a_uniquely_matchable_bipartite_graph

Editar: La reducción al problema original es la siguiente. Suponga que el DAG tiene solo dos niveles, estos corresponderán a las filas y columnas de la matriz. Además, tenemos un solo nodo con peso +1. Todos los demás en el nivel inferior tienen peso -1 y en el nivel superior +1.


¿Cómo se reduce esto al problema original? Por cierto, este problema parece interesante en sí mismo.
Tsuyoshi Ito

¿Está buscando una permutación para aplicar tanto a las filas como a las columnas, o dos permutaciones separadas? Supongo que dos, ya que con solo uno el problema parece equivalente al tipo topológico.
Warren Schudy

Pensando en ello como un gráfico bipartito (como en el enlace elte), dan la condición necesaria de que no tiene un subgrafo hecho de copias de K2, C4, C6, C8, etc. Otra condición necesaria es que la secuencia de grados de ambos partes está dominada por (1, 2, 3, ..., n) --- Creo que esto es más fuerte que la otra condición basada en la camarilla en el enlace.
daveagp 01 ​​de

Respuestas:


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El problema resultó ser NP-completo. Puedes leer más en detalle aquí y aquí . Breve resumen:

Dasgupta, Jiang, Kannan, Li y Sweedyk demostraron que la reducción es por un problema NP-completo: dado un gráfico bipartito G y un entero k, decida si G tiene una subgrafía inducida en 2k nodos que se puede extender a Ser excepcionalmente compatible. Stéphane Vialette observó que esto se reduce a la versión bipartita de coincidencia única de este problema si agregamos nk nodos aislados a ambas clases.


Gracias por el enlace a EGRES. Realmente disfruto los problemas abiertos, especialmente los relacionados con la coincidencia (perfecta).
Mohammad Al-Turkistany

¿Cuáles son los otros sitios de problemas abiertos de calidad (relacionados con la complejidad computacional)?
Mohammad Al-Turkistany

@turkistany, no conozco a nadie más, creo que esto también se trata más de investigación de operaciones / teoría de gráficos.
domotorp

3

Atención: ¡Esta es una respuesta parcial basada en conjeturas y rumores! Mientras que el problema más general de David Eppstein es NP-completo, quizás este esté en P.

Digamos que un gráfico bipartito con es "UPMX" si es extensible a un gráfico con una coincidencia perfecta única. Estas son algunas condiciones necesarias para UPMX:| A | = | B | = n(AB,E)|A|=|B|=n

  • no debe contener 2 combinaciones perfectas,
  • la secuencia de grados de A, cuando se ordena en orden creciente, debe ser componente , y también para B. Llamaré a esto la "condición de grado".(1,2,...,n)

Hasta ahora, no he podido encontrar ningún ejemplo en el que un gráfico cumpla estas condiciones, pero no puede ser UPMX. En ese caso, tal vez sean suficientes. Uno podría probar esto con el siguiente algoritmo:

  1. si el gráfico tiene> 1 coincidencias perfectas, devuelve "no UPMX"
  2. si el gráfico falla la condición de grado, devuelve "no UPMX"
  3. si el gráfico tiene = 1 coincidencia perfecta, devuelve "UPMX"
  4. de lo contrario, tal vez podamos mostrar que es UPMX. Quizás el siguiente algoritmo podría probarlo:
    • mientras que el gráfico tiene bordes,(n+12)2
    • encuentre un nuevo borde e cuya adición no cree una coincidencia perfecta y no viole la condición de grado; agregue e al gráfico
  5. ahora el gráfico tiene aristas y ninguna coincidencia perfecta, y satisface la condición de grado. Creo que no es demasiado difícil mostrar que es UPMX, por lo tanto, también lo fue el gráfico original.(n+12)1

Puede caracterizar qué nuevas aristas crearían una coincidencia perfecta utilizando el teorema de Hall, y no es difícil caracterizar qué nuevas aristas violarían el límite de grado. Desafortunadamente, incluso si es cierto que siempre existe un borde del tipo correcto, no he podido probarlo.


No es un mal enfoque, me pregunto si es cierto.
domotorp

3

Este artículo, Obteniendo una matriz triangular mediante permutaciones independientes de fila-columna Fertin, Rusu y Vialette, muestra que el problema es NP-completo para matrices cuadradas binarias.


Es bastante lamentable que también hayan demostrado el mismo resultado independientemente de nosotros, creo que deberíamos habernos comunicado mejor. De todos modos, les enviaré un correo electrónico.
domotorp

@domotorp Se ha preguntado el mismo problema en MathOverflow y la mejor respuesta fue que está en "NP-limbo". mathoverflow.net/questions/191963/…
Mohammad Al-Turkistany

-1

El problema es NP-complete, pero ¿dónde está el algoritmo para resolverlo? Tengo un algoritmo que funciona en muchos ejemplos, pero no puedo demostrar que vaya a funcionar todo el tiempo.


1
¿Puedes caracterizar una clase interesante de gráficos en los que tu algoritmo es correcto?
RB
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