Es {

¿El lenguaje { } está libre de contexto o no? $a^{i}b^{j}c^{k} ~|~ i \neq j, i \neq k, j \neq k$

Me di cuenta de que he encontrado casi todas las variantes de esta pregunta con diferentes condiciones sobre la relación entre i, j y k, pero no esta.

Supongo que no está libre de contexto, pero ¿tienes una prueba?

automata-theory fl.formal-languages grammars

— Cem Say
fuente

@Sariel: Espero que no sea un problema de tarea, porque no sé cómo resolverlo.

— Tsuyoshi Ito

Parece un problema de tarea, ya que algunas de las otras variantes que menciono son lo suficientemente fáciles como para ser problemas de tarea. Pero esta variante no es un problema de tarea. Sin embargo, me alegraría si alguien me puede dar un enlace a cualquier sitio del curso donde este problema en particular se haya asignado como tarea.

— Cem Say

¿Puedes explicar por qué las técnicas estándar no funcionan?

— Warren Schudy

@ Tsuyoshi ... Sí. Tienes razón. Es más difícil de lo que parece.

— Sariel Har-Peled

Curiosamente, este lenguaje (y el uso del Lema de Ogden) se puede encontrar en el Ejemplo 6.3 (p. 130) en la versión clásica de "Introducción a la teoría, lenguajes y computación de autómatas" de Hopcroft y Ullman.

— Dominik D. Freydenberger

Respuestas:

El lema de Ogden debería funcionar:

Para una dada, elija y marque todas las '(y nada más). $p$ $a^i b^p c^k$ $b$

y se eligen de tal manera que para cada elección de cuántas 's se bombean realmente hay un exponente de bombeo tal que el número de es igual a y uno donde es igual a . $i$ $k$ $b$ $b$ $i$ $k$

Es decir, y deben ser del conjunto . $i$ $k$ $\bigcap_{1 \leq n \leq p} \lbrace p-n + m*n \mid m \in \mathbb{N}_0\rbrace$

Estoy bastante seguro pero demasiado vago para demostrar formalmente que este conjunto es infinito.

— Frank Weinberg
fuente

Suponiendo que IN_0 significa el conjunto de enteros no negativos, el conjunto mencionado es infinito porque contiene p + im para i = 0, 1, 2, ..., donde m es el mínimo común múltiplo de {1, ..., p}.

— Tsuyoshi Ito

Aquellos que no conocen el lema de Ogden (como yo) pueden encontrar útil Wikipedia .

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Sí, tienes razón. No vi esta simple representación ayer por la noche.

— Frank Weinberg

Esta respuesta aparece en el blog de la comunidad .

— Aaron Sterling

Una prueba similar se presenta en esta respuesta en cs.se.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

-4

Si la relación entre las tres restricciones es "O", entonces el idioma es CFL. La solución utiliza el hecho de que las CFL están cerradas bajo unión. Claramente, los siguientes son CFL: , , $L_1=\{a^ib^jc^k \mid i\ne j,\ k\ge 0\}$ $L_2=\{a^ib^jc^k \mid i\ne k,\ j\ge 0\}$ (si uno no está convencido, uno puede ver a como concatenación de CFL y lenguaje regular. Por ejemplo, es concatenado a . $L_3=\{a^ib^jc^k \mid j\ne k,\ i\ge 0\}$ $L_i$ $L_1$ $\{a^ib^j\mid i\ne j \}$ $\{c\}^*$

El lenguaje deseado es la unión de lo anterior . Entonces, es CFL. $L=L_1\cup L_2\cup L_3$

— R_G
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Esto está mal. Por ejemplo,

y, por lo tanto, en su

, pero

a a b c c \in L_{1}

$aabcc\in L_1$

L

$L$

a a b c c \notin {a^{i} b^{j} c^{k} | i \neq j, i \neq k, j \neq k}

$aabcc\notin\lbrace a^ib^jc^k~|~i\neq j,i\neq k,j\neq k\rbrace$

— Dave Clarke

Asume que »la relación entre las tres restricciones es" O "«, pero este no es el significado deseado. Todas las restricciones deben cumplirse (véase el contraejemplo de Dave Clarke), y luego el lenguaje no está libre de contexto (véase la respuesta anterior).

— DaniCL