Un caso fácil de SAT que no es fácil para la resolución de árbol

¿Existe una clase natural de fórmulas de CNF, preferiblemente una que se haya estudiado previamente en la literatura, con las siguientes propiedades:$C$

• $C$ es un caso fácil de SAT, como por ejemplo Horn o 2-CNF, es decir, la membresía en puede probarse en tiempo polinomial, y las fórmulas pueden probarse para determinar su satisfacción en el tiempo polinomial.$C$$F\in C$
• No se sabe que las fórmulas insatisfactorias tengan refutaciones de resolución de árbol (tamaño polinómico) cortas. Aún mejor sería: hay fórmulas insatisfactorias en para las cuales se conoce un límite inferior súper polinomial para una resolución similar a un árbol.$F\in C$$C$
• Por otro lado, se sabe que las fórmulas insatisfactorias en tienen pruebas cortas en algún sistema de prueba más fuerte, por ejemplo, en una resolución similar a dag o en un sistema aún más fuerte.$C$

$C$ no debe ser demasiado escaso, es decir, contener muchas fórmulas con variables, para cada (o al menos para la mayoría de los valores de) . También debe ser no trivial, en el sentido de contener fórmulas satisfactorias e insatisfactorias.$n$$n\in \mathbb{N}$

El siguiente enfoque para resolver una fórmula arbitraria de FNC debería ser significativo: encuentre una asignación parcial st, la fórmula residual está en , y luego aplique el algoritmo de tiempo polinómico para fórmulas en a . Por lo tanto, me gustaría recibir otras respuestas además de las restricciones completamente diferentes de la respuesta actualmente aceptada, ya que creo que es raro que una fórmula arbitraria se convierta en una restricción completamente diferente después de aplicar una restricción.$F$$\alpha$$F\alpha$$C$$C$$F\alpha$

Parece que está interesado en restricciones completamente diferentes (y su última oración está en el camino correcto). Estas son instancias no triviales del principio del palomar, donde el número de palomas no es necesariamente mayor que el número de agujeros, y además algunas palomas pueden ser excluidas de algunos de los agujeros.

Se pueden decidir restricciones completamente diferentes haciendo coincidir el tiempo polinómico de bajo orden.

• Jean-Charles Régin, Un algoritmo de filtrado para restricciones de diferencia en CSP , AAAI 1994, 362–367.
• DE Knuth y A. Raghunathan, El problema de los representantes compatibles , SIAM J. Discrete Math. 5 422–427, 1992. doi: 10.1137 / 0405033

Cuando se expresan restricciones completamente diferentes (usando una de varias codificaciones) como instancias SAT, el aprendizaje de cláusulas controladas por conflictos generalmente encuentra rápidamente una solución si existe. Sin embargo, la resolución pura para PHP tiene que construir un conjunto de cláusulas superpolinomialmente grandes para mostrar que la instancia no es satisfactoria. Este límite claramente es válido para este problema más general. Por otro lado, recuerde que la codificación de Cook del PHP permite refutaciones de resolución extendida de tamaño polinómico .

• SA Cook, una breve prueba del principio del agujero de paloma con resolución extendida , SIGACT News 8 28–32, 1976. doi: 10.1145 / 1008335.1008338

El trabajo reciente en este sentido es el Capítulo 5 de la tesis de Sergi Oliva , que formó la base de un documento con Alberto Atserias en el CCC 2013.

Espero que esté al tanto del resultado clásico de Cook, ¿entonces quizás quiso restringir el poder del sistema de prueba en su tercera condición?

No estoy seguro de por qué uno requeriría también fórmulas sat, pero hay algunos artículos sobre la separación entre la resolución general y la resolución de árbol, por ejemplo [1]. Me parece que esto es lo que quieres.

[1] Ben-Sasson, Eli, Russell Impagliazzo y Avi Wigderson. "Separación casi óptima de resolución similar a un árbol y general". Combinatorica 24.4 (2004): 585-603.

Puede que le interesen las fórmulas SAT con "ancho de banda" o "ancho de árbol" pequeños (logarythmic). Estas fórmulas son particionables recursivamente de tal manera que el límite de comunicación entre particiones es pequeño y, por lo tanto, se puede utilizar un enfoque de programación dinámica enumerativa para resolverlas. El tema fue popular en los noventa. Una vez conté exactamente el número de ciclos hamiltonianos en un gráfico de ancho de árbol pequeño de 24,000 vértices, por lo que los problemas #P con ancho de árbol pequeño también se pueden resolver. Bodlaender es una referencia importante.

El siguiente documento parece cercano a lo que se solicita de alguna manera (si no encaja, tal vez JJ pueda aclarar por qué). la pregunta quiere descartar instancias PHP (casilleros) basadas en la falta de ambas fórmulas verdadero / falso, pero (como se cita en las otras respuestas) PHP es uno de los generadores de casos / instancias mejor estudiados desde el lado de la teoría y tiene siempre ha sido un generador de fórmulas satisfactorias / insatisfactorias, aunque las fórmulas satisfactorias son menos enfatizadas / estudiadas.

${^m_n}$$m$$n$$m>n$$m \leq n$

• La resolución similar a un árbol es superpolinomialmente más lenta que la resolución similar a DAG para el principio del casillero (1999) por Kazuo Iwama, Shuichi Miyazaki

otro enfoque sería ir en un ángulo más empírico y simplemente generar instancias aleatorias (presumiblemente alrededor del punto de transición fácil-difícil-fácil de satisfacer al 50%) y filtrarlas para que se ajusten a los criterios establecidos. uno requeriría implementaciones de resolución de árbol / resolución DAG o "sistemas más fuertes".