¿Puedes identificar la suma de dos permutaciones en el tiempo polinomial?

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Recientemente se hicieron dos preguntas en cs.se que estaban relacionadas o tenían un caso especial equivalente a la siguiente pregunta:

Suponga que tiene una secuencia de números tales que Descomponerlo en la suma de dos permutaciones, y , de , de modo que . $a_1, a_2, \ldots a_n$ $n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1).$ $\pi$ $\sigma$ $1 \dots n$ $a_i = \pi_i + \sigma_i\,$

Hay algunas condiciones necesarias: si se ordena de modo que , entonces debemos tener $a_i$ $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n\,$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq k (k + 1) .

$\sum_{i=1}^k a_i \geq k(k+1).$

Sin embargo, estas condiciones no son suficientes. De la respuesta a esta pregunta matemática que hice, la secuencia 5,5,5,9,9,9 no se puede descomponer como la suma de dos permutaciones (se puede ver esto usando el hecho de que 1 o 5 solo pueden ser emparejado con 4).

Entonces mi pregunta es: ¿cuál es la complejidad de este problema?

— Peter Shor
fuente

Por cierto, una simple variación vino a mi mente y no estoy seguro de su complejidad. ¿Puedes identificar la suma libre de punto fijo de dos permutaciones en tiempo polinómico? (Requerimos que las dos permutaciones no acuerdo en cada posición, es decir, para todo )

π_{i} \neq σ_{i}

$\pi_i \ne \sigma_i$

i

$i$

— Mohammad Al-Turkistany

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No, no puede identificar la suma de dos permutaciones en el tiempo polinomial a menos que P = NP. Su problema es NP-complete ya que la versión de decisión de su problema es equivalente al problema NP-complete - Coincidencia numérica con sumas objetivo: $2$

Entrada: Secuencia de de enteros positivos, , para $a_1, a_2, \ldots a_n$ $\sum_{i=1}^n a_i = n(n+1)$ $1 \le a_i \le 2n$ $1 \le i \le n$

Pregunta: ¿Hay dos permutaciones y tales que para ? $\psi_1$ $\psi_2$ $\psi_1(i)+\psi_2(i)= a_i$ $1\le i \le n$

En la referencia, se demostró que una variante severamente restringida de NUMERICAL 3-DIMENSIONAL MATCHING (RN3DM) era NP-completa.

RN3DM, dado un conjunto múltiple de enteros y un número entero tal que , ¿existen dos permutaciones y modo que $U = \{u_1, . . . , u_n\}$ $e$ $\sum_{j=1}^n u_j + n(n + 1) = ne$ $\lambda$ $\mu$ $u_j + \lambda( j ) + \mu( j ) = e$ , Para ? $j = 1, . . . , n$

Hay una reducción fácil de RN3DM a Problema de coincidencia numérica con sumas objetivo: dada una instancia de RN3DM. Construimos la instancia correspondiente haciendo para $2$ $a_i= e-u_i$ $1 \le i \le n$

W. Yu, H. Hoogeveen y JK Lenstra. Minimizar la fabricación temporal en un taller de flujo de dos máquinas con retrasos y operaciones por unidad de tiempo es muy difícil . Journal of Scheduling, 7: 333–348, 2004

EDITAR 1 de octubre : su problema se llama SUMAS DE PERMUTACIÓN. Está en la lista desde 1998 en PROBLEMAS ABIERTOS EN OPTIMIZACIÓN COMBINATORIA por Steve Hedetniemi.

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

2

Gracias por la respuesta. He respondido a uno de los problemas en cs.se que inspiró este (que no estaba en una forma respondida directamente por su referencia), pero creo que debería tener la primera oportunidad de responder el segundo ya que se da la respuesta en su referencia

— Peter Shor

Muchas gracias Peter. Me alegra haber podido ayudarte. Creo que producirás una mejor respuesta. Entonces, por favor continúe y responda esa pregunta también.

— Mohammad Al-Turkistany

Aquí está el enunciado del problema tal como apareció en la página web anterior: SUMAS DE PERMUTACIÓN [Cheston, 198X] INSTANCIA: Una matriz A [1..n] de enteros positivos. PREGUNTA: ¿Existen dos permutaciones r y s de los enteros positivos {1,2, ..., n} tales que para 1 <= i <= n, r (i) + s (i) = A [i] ?

— Mohammad Al-Turkistany

4

Por otro lado, Marshall Hall demostró que es posible identificar fácilmente la diferencia de dos permutaciones.

— alce anónimo
fuente

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n

$n$

Z

$\mathbb{Z}$

3

@PeterShor Para completar, por favor publique su comentario como respuesta separada al proporcionar un bosquejo de prueba de la integridad de NP de identificar la diferencia de dos permutaciones.

— Mohammad Al-Turkistany

3

ϕ

$\phi$

π

$\pi$

\bar{π} (i) = n + 1 - π (i)

$\bar{\pi}(i) = n+1 - \pi(i)$

ϕ + π

$\phi+\pi$

{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

$\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$

ϕ - \bar{π}

$\phi-\bar{\pi}$

{x_{1} - (n + 1), x_{2} - (n + 1), \dots, x_{n} - (n + 1)}

$\{x_1-(n+1), x_2-(n+1), \ldots, x_n-(n+1)\}$

{- 2, - 2, - 2, 2, 2, 2}

$\{-2,-2,-2,2,2,2\}$

{5, 5, 5, 9, 9, 9}

$\{5,5,5,9,9,9\}$

— Peter Shor