Extensión al problema del matrimonio estable?

Esto puede parecer más una pregunta de ciencias sociales que una pregunta de TCS, pero no lo es. Al leer " Algoritmos aleatorios " que describe el problema del matrimonio estable, se puede leer lo siguiente (p54)

"Se puede demostrar que para cada elección de listas de preferencias existe al menos un matrimonio estable. (Curiosamente, este no es el caso en una sociedad monógama homosexual con un número par de habitantes) ..."

¿Existe alguna extensión muy simple del problema del matrimonio estable que permita algún tipo de estado estacionario que incluya una sociedad monógama homosexual o una sociedad en la que cierto subconjunto de la población siga un conjunto de reglas diferente al conjunto más amplio?

En caso afirmativo, ¿existen algoritmos que realicen tal coincidencia?

Hay una conjetura abierta con respecto a 3 tipos de personas. Supongamos que tiene hombres, mujeres y perros para que los hombres tengan listas de preferencias sobre mujeres, las mujeres tengan listas de preferencias sobre perros y los perros tengan listas de preferencias sobre hombres. ¿Hay siempre un matrimonio estable?

(Para otras estructuras de preferencia en una sociedad de 3 tipos, se sabe que las respuestas son negativas).

Otro comentario es que el matrimonio estable representa un núcleo no vacío y hay una condición bien conocida por Scarf que implica la existencia de un núcleo no vacío. Se sabe que las condiciones de la bufanda se cumplen para el problema original del matrimonio estable y para el problema de asignación de la casa. (Pero falló por el problema de hombres / mujeres / perros).

Algunas referencias:

• Una referencia al artículo de Scarf: HE Scarf, The core of an $N$ juego de persona, Econometrica 35 (1967) 50-69.
• Un artículo que muestra varias aplicaciones para el lema crucial de Scarf y cita algunos otros: (En particular, se describe una versión fraccional del teorema de Gale-Shapley para hipergrafías de Aharoni y Holzman): R. Aharoni y T. Fleiner, en un lema de Bufanda, J. Combin. Teoría Ser. B 87 (2003), 72-80.
• En un artículo de Eriksson et al (Math Soc Sci 2006), aparece una solución del problema de hombres-mujeres-perros cuando hay como máximo 4 de cada género.

Lo que está preguntando ya no se llama "problema de matrimonio estable". Por el contrario, se llama "Problema de compañeros de habitación estables". De acuerdo con Wikipedia :

En matemáticas, especialmente en los campos de la teoría de juegos y la combinatoria, el problema del compañero de habitación estable (SRP) es el problema de encontrar una coincidencia estable, una coincidencia en la que no hay un par de elementos, cada uno de un conjunto coincidente diferente, donde cada miembro del par prefiere al otro a su pareja. Esto es diferente del problema del matrimonio estable en que el problema de los compañeros de cuarto estables no requiere que un conjunto se divida en subconjuntos masculinos y femeninos. Cualquier persona puede preferir a cualquiera en el mismo conjunto.

Se dice comúnmente como:

En un caso dado del problema de Compañeros de habitación estables (SRP), cada uno de los 2n participantes clasifica a los demás en estricto orden de preferencia. Una coincidencia es un conjunto de n pares de participantes disjuntos (desordenados). Una M coincidente en una instancia de SRP es estable si no hay dos participantes x e y, cada uno de los cuales prefiere al otro en lugar de su compañero en M. Se dice que dicho par bloquea M o es un par de bloqueo con respecto a METRO.

Wikipedia discute la respuesta a su pregunta. Dice que el caso estable no siempre se puede encontrar, sin embargo, existe un algoritmo eficiente, debido a Irving (1985), que encontrará esa coincidencia si hay uno.

Editar:

El SRP puede concebir varias relajaciones naturales: en lugar de exigir que "no hay dos participantes x e y, cada uno de los cuales prefiere al otro a su compañero en M", uno puede requerir que:

1. Al menos una cierta fracción de personas se sentirá satisfecha con sus compañeros de cuarto. Aquí, la satisfacción se puede interpretar de manera diferente. Por ejemplo:
   • Se dice que un par (x, y) está satisfecho si y es la primera opción de x, y viceversa.
   • Se dice que un par (x, y) está satisfecho si uno de x o y es la primera opción de otro.
   • Se dice que un par (x, y) no está satisfecho si existe un par (z, w) tal que a x le guste z más que y, y z le guste x más que w.
   • ...
2. A lo sumo, cierta fracción de la gente no está satisfecha con sus compañeros de cuarto. (Este requisito puede ser diferente al anterior dependiendo de la interpretación de la satisfacción ).

Además de la conocida variante de Compañeros de habitación estables del Problema del matrimonio estable, existe el Problema de asignación de la casa. En esta versión, tienes$n$ gente y $m$casas. Las personas clasifican las casas según sus preferencias, pero las casas no expresan ninguna preferencia sobre las personas. Este artículo de Abraham et al analiza un algoritmo para encontrar una cardinalidad máxima, una coincidencia óptima de Pareto.