Distancia entre idiomas regulares

Quiero definir una noción de "cercanía" entre dos idiomas regulares de palabras finitas en $\Sigma^*$ (y / o palabras infinitas en $\Sigma^\omega$ ). La idea básica es que queremos que dos idiomas estén cerca si no difieren en muchas palabras. También podríamos usar la distancia de edición de alguna manera ... No pude encontrar buenas referencias sobre este tema.

No lo llamo distancia porque no requiero que todos los axiomas de distancia sean verdaderos (aunque no es malo si lo son).

$$d(L,K)= \limsup_{n\to\infty} \frac{|L_n\Delta K_n|}{|L_n\cup K_n|}$$ $L_n$$K_n$$L$$K$$\Sigma^n$$\Delta$

¿Se estudia esta "distancia"? ¿Hay referencias sobre el tema (posiblemente con opciones alternativas para la función de distancia)? Cualquier ayuda o puntero sería apreciado, gracias.

Como tal vez ya sepa, una métrica común en las palabras es la métrica de Cantor, que se define como:

$$d(l, k) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{if } l = k \\ 2^{-n} & \mbox{where } n = \min\{i\in\mathbb{N} \;|\;l_i \not=k_i\} \end{array} \right.$$

En términos generales, si una cadena es una secuencia de eventos, la distancia entre dos cadenas es , donde n es la primera vez que difieren. Esto se puede elevar a una métrica en idiomas (no vacíos) utilizando la métrica de Hausdorff. (Si permite cadenas infinitas, también debe asegurarse de que los idiomas estén completos en Cauchy). $2^{-n}$$n$

Esta métrica se muestra mucho en la verificación. La primera referencia a esto que conozco es Alpern y Schneider 1985, Defining Liveness . (Perdón por la ausencia de un enlace, pero no pude encontrar una copia en línea).

Jean-Eric Pin ha escrito un artículo de encuesta, Profinite Methods in Automata Theory , en el que analiza algunas métricas más generales y también establece algunas conexiones con la dualidad de Stone.