Almacenar un vector de bits en memoria no inicializada y espacio mínimo

Un truco bien conocido para almacenar vectores de bits utilizando memoria no inicializada puede asignar un vector de bits de tamaño en el que todos los bits se ponen a asignando bits de memoria e inicializando solo de ellos. Esta representación admite la configuración y el desarmado de cualquier bit en tiempo constante.$n$$0$$(2 n + 1)\lceil \lg n \rceil$$\lceil \lg n \rceil$

Esto se remonta a "Alfred Aho, John Hopcroft y el libro de 1974 de Jeffrey Ullman El diseño y análisis de algoritmos informáticos ... Capítulo 2, ejercicio 2.12", "Libro de 1986 de Jon Bentley Programming Pearls... Columna 1, ejercicio 8; ejercicio 9 en la segunda edición ", y " el documento de 1993 de Preston Briggs y Linda Torczon, 'Una representación eficiente para conjuntos dispersos' " .

El "Cambio de base sin perder espacio" de Dodis et al. ligeramente el requisito de espacio a bits, aunque este algoritmo requiere la precomputación de constantes con bits cada una.$\lceil (2 n + 1) \lg n \rceil + 1$$\Theta(\lg n)$$\Theta(\lg n)$

¿Cuánto espacio se puede ahorrar? ¿Hay una representación de vectores de bits en los que

• Los bits se pueden activar o desactivar en tiempo$O(1)$
• La inicialización de un nuevo vector de bits de s utiliza bits de memoria no inicializada y memoria inicializada$0$$o(n \lg n)$$O(\lg n)$

Sí, esto se puede hacer a través de bucketing . La representación en Briggs y Torczon se puede usar para almacenar no solo bits, sino también valores asociados con cualquier conjunto de bits, almacenándolos junto a los valores en la matriz densa. Para valores de bits, esto lleva a un costo total de almacenamiento de .$k$$(2n+1)\lceil \lg n \rceil + kn$

Ahora elija . Cada valor de bits representará un conjunto de bits contiguos en la matriz de bits. Por lo tanto, solo necesitamos rastrear de ellos con las matrices densas y dispersas. Esto lleva a un costo total de bits de almacenamiento, con bits inicializados.$k=\lceil \lg n \rceil$$k$$\lceil \lg n \rceil$$\lceil n/\lceil \lg n \rceil \rceil$$\Theta(n)$$\Theta(\lg n)$

Al igual que la solución básica, esto requiere operaciones en palabras de longitud para establecer un solo bit.$O(1)$$\Theta(\lg n)$