Aproximación del rango de signos de una matriz

El rango de signos de una matriz A con entradas + 1, -1 es el rango mínimo (sobre los reales) de una matriz B que tiene el mismo patrón de signos que A (es decir, para todo i , j ) Esta noción es importante en la complejidad de la comunicación y la teoría del aprendizaje.$A_{ij}B_{ij}>0$$i,j$

Mi pregunta es: ¿Hay algún algoritmo conocido (tiempo subexponencial) que se aproxime al rango de signos de una matriz dentro de un factor ?$o(n)$

(Soy consciente del límite inferior de Forster en el rango de signos en términos de norma espectral, pero esto no produce una relación de aproximación mejor que en general).$\Omega(n)$

Creo que esta es una pregunta abierta.

Lee y Schraibman en "Un algoritmo de aproximación para el rango de aproximación" muestran que el rango de aproximación puede aproximarse a un factor constante mediante un algoritmo de tiempo polinómico. Para hacerlo, relacionan una cantidad de programación semidefinida con el rango de aproximación, donde α es un parámetro finito mayor que 1. Llevar a α al límite del infinito produce el rango de signos pero su resultado no da nada en esto ajuste.$\gamma_2^\alpha$$\alpha$$\alpha$

$O(n/\log n)$$d$$S$

• $M$$S$$\mathrm{rank}\ M = O(n^{1-1/d})$
• $S$$d$

$M$$O(n^{1-1/d}/d)$$d = \Theta(\log n)$