¿Cuál es la diferencia entre flechas y objetos exponenciales en una categoría cerrada cartesiana?

En una categoría cartesiana cerrada ( CCC ), existen los llamados objetos exponenciales , escritas . Cuando un CCC es considerado como un modelo de la simplemente-mecanografiada λ -calculus , un objeto exponencial como B A caracteriza el espacio de la función de tipo A a tipo B . Un objeto exponencial es introducido por una flecha llamada c u r r y : ( A × B → C ) → ( A → C $B^A$$\lambda$$B^A$$A$$B$ Y eliminado por una flecha llama un p p l y : C B × B → C (que por desgracia llama e v un l en la mayoría de textos sobre teoría de la categoría). Mi pregunta aquí es: ¿hay alguna diferencia entre el objeto exponencial C B y la flecha B → C ?$curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$$apply : C^B \times B \rightarrow C$$eval$$C^B$$B \rightarrow C$

Uno es interno y el otro es externo .

Una categoría consta de objetos y morfismos. Cuando escribimos f : A → B queremos decir que f es un morfismo de un objeto A al objeto B . Podemos recopilar todos los morfismos de A a B en un conjunto de morfismos H o m C ( A , B ) , llamado "conjunto hom". Este conjunto no es un objeto de C , sino un objeto de la categoría de conjuntos.$\mathcal{C}$$f : A \to B$$f$$A$$B$$A$$B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$$\mathcal{C}$

En contraste, una exponencial es un objeto en C . Es cómo " C piensa en sus hom-sets". Por lo tanto, B A debe estar equipado con cualquier estructura los objetos de C tienen.$B^A$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$B^A$$\mathcal{C}$

Como ejemplo, consideremos la categoría de espacios topológicos. Entonces es un mapa continuo de X a Y , y H o m T o p ( X , Y ) es el conjunto de todos estos mapas continuos. ¡Pero Y X , si existe, es un espacio topológico! Se puede demostrar que los puntos de Y X son (en correspondencia biyectiva con) los mapas continuos de X a Y . De hecho, esto se cumple en general: los morfismos 1 → B $f : X \to Y$$X$$Y$$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$$Y^X$$Y^X$$X$$Y$$1 \to B^A$(que son "los puntos globales de ") están en correspondencia biyectiva con morfismos A → B , porque H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , B ) $B^A$$A \to B$

$$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$$

A veces tenemos descuidado acerca de la escritura en lugar de un → B . De hecho, a menudo estos dos son sinónimos, con el entendimiento de que f : A → B podría significar "oh, por cierto, quise decir la otra notación, por lo que esto significa que f es un morfismo de A a B ". Por ejemplo, cuando escribió el curry de morfismo curry : ( A × B → C ) → ( A → C B ) realmente debería haber escrito curry$B^A$$A \to B$$f : A \to B$$f$$A$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ Así que no podemos culpar a nadie por confundirse aquí. El → internose usa en el sentido interno y el externo en el externo. $$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$$ $\to$

$\lambda$$t$$B$$t : B$$B$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $\lambda$ $$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$$ $B^A$$A \to B$