Estoy buscando un pequeño gráfico cuyo número cromático vectorial es menor que el número cromático, .
( tiene vector número cromática si hay una asignación , donde intuitivamente los vectores asociados con vértices vecinos están muy separados El requisito es. . Por ejemplo, para , los vértices de un triángulo son suficientes.)
El número cromático vectorial de un gráfico no es mayor que el número cromático: . Se conocen ejemplos de gráficos con . (El artículo original de Karger, Motwani, Sudán [JACM, 45: 246-265] ( manuscrito ) sugiere gráficos Kneser generalizados, un artículo más reciente utiliza una construcción basada en vectores unitarios aleatorios.
Creo que tengo un ejemplo de gráfico con y (basado en el cálculo de la computadora). Este gráfico tiene 20 vértices y 90 aristas.
¿Hay un ejemplo más pequeño? Una avenida tentadora sería proporcionar un vector concreto de 3 colores del gráfico de Chvatal o Grötzsch, si tal bestia existe.
( no necesita ser un número entero, pero sería bueno. Actualización: Como se señala a continuación, el caso no integral es realmente fácil. Gracias.)
Actualización: Grötzsch y Chvátal
No pude resistirme a pensar en el vector 3 para colorear los gráficos de Chvátal y Grötzsch.
El gráfico de Grötsch puede ser un vector de 3 colores de la siguiente manera: Coloque el nodo de grado cinco en el polo norte. Los 5 nodos de grado 4 se colocan de manera uniforme en la misma latitud, a unos 77 grados del norte: imagine un pentragrama pintado en el hemisferio norte de la Tierra. Los 5 nodos restantes (de grado 3) terminan en el hemisferio sur, a unos 135 grados del norte. Tienen la misma longitud que los otros 5. (Cargaré un dibujo cuando tenga uno, pero es más difícil dibujar líneas geodésicas en TikZ de lo que pensaba).
Según un solucionador de SDP, Chvátal también admite un vector de 3 colores, pero la salida es solo un conjunto de vectores en 5 dimensiones que tengo dificultades para interpretar.
(Un tercer intento falló: inspirado por la construcción de Yury, tome el ciclo 5 y agregue un vértice de vértice adyacente a todos los demás. Este gráfico tiene el número cromático 4. Pero según mi solucionador no es el vector de 3 colores).