Tiempo de ejecución del algoritmo de Grover

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¿Cuál es la complejidad del tiempo (no la complejidad de la consulta) del algoritmo de Grover? Me parece claro que es ya que hay $\Omega(\log(N) \sqrt{N})$ iteraciones y cada iteración requiere el uso de la operación de reflexión que a su vez lleva tiempousando cualquier conjunto estándar de puertas universales. $\Omega(\sqrt{N})$ $\Omega(\log(N))$

El problema es que no puedo encontrar ni una sola referencia que diga que la complejidad temporal del algoritmo de Grover es . Wikipedia, y varias otras páginas web, dicen $\Omega(\log(N) \sqrt{N})$ complejidad del tiempo. El artículo de Grover afirma $O(\sqrt{N})$ "pasos". $O(\sqrt{N})$

¿Me estoy perdiendo de algo? Quizás las personas definen la operación de reflexión para tomar tiempo unitario. Pero eso no tiene sentido para mí porque si podemos jugar el juego de permitir que las unidades unitarias arbitrarias tomen tiempo unitario, entonces no habría diferencia entre la complejidad de la consulta y la complejidad del tiempo.

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— Dan Stahlke
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No puedo pensar en una referencia que hable sobre la complejidad temporal del algoritmo de Grover, pero lo que escribiste es cierto. De hecho, sobre cualquier conjunto de puertas finitas, las operaciones realizadas entre consultas en el algoritmo de Grover requieren al menos puertas

, ya que cada puerta tiene un ancho finito, pero necesitamos realizar una puerta que afecte a todos los qubits de

Ω (\log N)

$\Omega(\log N)$

\log N

$\log N$

— Robin Kothari

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La pregunta generalmente se considera discutible, por la siguiente razón. El algoritmo de Grover es un algoritmo de búsqueda combinatoria para encontrar una solución a un predicado arbitrario. Si bien, sí, es la complejidad de la puerta cuántica en cada etapa del algoritmo de caja negra, el predicado también debe calcularse. La complejidad de la puerta cuántica de eso es $\Theta(\log N)$ $\Omega(\log N)$ , porque de lo contrario no leería toda la entrada y podría descartar algunos de los bits de entrada de la búsqueda. Por otro lado, un predicado interesante podría tomar mucho más tiempo que eso. Por lo tanto, el número de llamadas al predicado se considera la moneda estándar, al igual que para el análogo clásico del algoritmo de Grover, es decir, la suposición aleatoria.

— Greg Kuperberg
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Resulta que hay una manera de implementar el algoritmo de Grover con menos de $O(\sqrt{N}\log N)$ $\Omega(\sqrt{N}\log N)$

$O(\sqrt{N})$ $O(\sqrt{N}\log(\log^* N))$

$\log(\log^* N)$ $N$ $\log(\log^* N)$

— Robin Kothari
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