Una fórmula 3-CNF que requiere un ancho de resolución

Recordemos que la anchura de una resolución refutación de una fórmula CNF es el número máximo de literales en cualquier cláusula que ocurre en . Para cada , hay fórmulas insatisfactorias en 3-CNF st cada refutación de resolución de requiere un ancho de al menos .F R w F F $R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

Necesito un ejemplo concreto de una fórmula insatisfactoria en 3-CNF (tan pequeña y simple como sea posible) que no tiene una resolución de refutación de ancho 4.

El siguiente ejemplo proviene del documento que ofrece una caracterización combinatoria del ancho de resolución por Atserias y Dalmau ( Journal , ECCC , copia del autor ).

El teorema 2 del artículo establece que, dada una fórmula CNF , las refutaciones de resolución de ancho como máximo k para F son equivalentes a las estrategias ganadoras para Spoiler en el juego existencial ( k + 1 ) de guijarros. Recordemos que el juego de guijarros existencial se juega entre dos jugadores compiten entre sí, llamados alerón y la duplicadora, y las posiciones del juego son las cesiones parciales de tamaño de dominio a lo sumo k + 1 a las variables de F . En el juego de guijarros ( k + 1 ) , a partir de la asignación vacía, Spoiler quiere falsificar una cláusula de $F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$$(k+1)$$F$mientras recuerda a lo sumo valores booleanos a la vez, y Duplicator quiere evitar que Spoiler lo haga.$k+1$

El ejemplo se basa en (la negación de) el principio del casillero.

Por cada y j ∈ { 1 , ... , n } , sea p i , j una variable proposicional que significa que la paloma i se sienta en el hoyo j . Por cada i ∈ { 1 , ... , n + 1 } y j ∈ { 0 , ... , n } , dejemos$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{0, \dotsc, n \}$ sea ​​una nueva variable proposicional. La siguientefórmula 3 -CNF E P i expresa que la paloma i se encuentra en algún agujero: E P i ≡ ¬ y i , 0 ∧ n ⋀ j = 1 ( y i , j - 1 ∨ p i , j ∨ ¬ y i , j ) ∧ y i , n$y_{i,j}$$3$${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ Finalmente, la fórmula -CNF E P H P n + 1 n que expresa la negación del principio del casillero es la conjunción de todas las E P i y todas las cláusulas H i , j k ≡ ¬ p i , k ∨ ¬ p j , k para i , j ∈ { 1 , ... , n + 1 } , i ≠ j y$3$${EPHP}_n^{n+1}$${EP}_i$$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$ .$k \in \{1, \dotsc, n \}$

El Lema 6 del documento ofrece una prueba bastante corta e intuitiva de que Spoiler no puede ganar el juego de pebbles en E P H P n + 1 n , por lo tanto, E P H P n + 1 n no tiene refutación de resolución de ancho como máximo n - 1 .$n$${EPHP}_n^{n+1}$${EPHP}_n^{n+1}$$n-1$

El artículo tiene otro ejemplo en el Lema 9, basado en el principio de orden lineal denso.

$\Omega(n^{(k-3)/12})$$k+1$