Estado en los límites inferiores del circuito para circuitos de profundidad acotados por polylog

La complejidad del circuito de profundidad limitada es una de las principales áreas de investigación dentro de la teoría de la complejidad del circuito. Este tema tiene su origen en resultados como "la función de paridad no está en $AC^{0}$ " y "la función mod no es calculada por ", donde es la clase de lenguajes decidible por no uniforme, profundidad constante, tamaño polinómico, abanico ilimitado AND, OR, NOT y compuertas de módulo , donde . Sin embargo, obtener resultados de límites inferiores concretos en los circuitos de profundidad pollogarítmica parece estar fuera del alcance mediante el uso de métodos clásicos como la restricción de entradas y la aproximación de polinomios en campos finitos.A C 0 [ q ] A C 0 [ q ] q mcd ( p , q ) = $p$$AC^{0}[q]$$AC^0[q]$$q$$\gcd(p,q)=1$

Conozco un artículo de STOC'96 que conduce a la teoría de la complejidad geométrica y que muestra que la computación paralela eficiente utilizando operaciones sin bits sabios no puede calcular el problema del flujo mínimo de costos.

Esto significa que en ciertas configuraciones limitadas, podemos probar los límites inferiores de $NC$ para algún problema de $P$ completo.

Primero, ¿existen otros métodos o técnicas que puedan ser enfoques plausibles para probar los límites inferiores del circuito de profundidad pollogarítmico?

Segundo, ¿qué tan útil es la siguiente declaración para la comunidad teórica?

El tamaño de un circuito $NC$ que computa una función booleana $f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ es al menos $l$ , donde $l$ es una cantidad matemática que depende de la dureza del función objetivo $f$ . El valor de $l$ puede ser, por ejemplo, una cantidad combinatoria como discrepancia, una cantidad algebraica lineal como el rango de cierto tipo de matriz sobre un campo, o una cantidad completamente nueva que no se haya utilizado previamente en la teoría de la complejidad.

En las técnicas para probar los límites inferiores de la profundidad del circuito de poly-log, todos los enfoques actuales funcionan en entornos restringidos . Al igual que en el trabajo que conduce a GCT que usted menciona, el límite inferior se aplica a un modelo PRAM restringido sin operaciones de bits.

Bajo otra restricción, que es la restricción monótona para las funciones booleanas monótonas, existe un enfoque analítico de Fourier (o enumerativo-combinatorio) para probar los límites inferiores de la profundidad del circuito monótono, en mi trabajo conjunto con Aaron Potechin ( ECCC y STOC ). Esto mejora en un resultado anterior de Ran Raz y Pierre McKenzie, que amplía el marco del juego de comunicación de Mauricio Karchmer y Avi Wigderson sobre la profundidad del circuito.

Scott Aaronson y Avi Wigderson propusieron otra línea de investigación para extender el juego Karchmer-Wigderson como un juego de comunicación referido , cuya extensión a un protocolo de prueba competitiva se sugiere como un enfoque para separar NC de P por Gillat Kol y Ran Raz ( ECCC e ITCS ).

Además de estudiar la restricción sintáctica de la monotonicidad, existe un enfoque para estudiar una restricción semántica relacionada con los juegos de guijarros (llamados programas de ramificación ahorrativos) por Stephen Cook, Pierre McKenzie, Dustin Wehr, Mark Braverman y Rahul Santhanam. Hay un límite inferior fuerte bajo la restricción económica de Dustin Wehr, que coincide con el límite superior más conocido para problemas P-completos. Estos resultados se refieren a la complejidad del espacio determinista, que limita el tiempo paralelo o la profundidad del circuito mediante resultados de simulación conocidos (por ejemplo, desde ).$\text{AlternatingTime}[t] \subseteq \text{DeterministicSpace}[t]$

Sobre la pregunta relacionada con el tamaño y la profundidad de los circuitos, el siguiente enfoque puede estar relacionado. Richard Lipton y Ryan Williams muestran que, dado un límite inferior suficientemente fuerte en la profundidad (es decir, ), un límite inferior de tamaño débil (es decir, n 1 + Ω ( 1 ) ) puede separar NC de P. Este resultado se desprende de un argumento de compensación de profundidad de tamaño basado en simulaciones que respetan bloques. Un resultado anterior sobre la profundidad de negociación por tamaño se debe a Allender y Koucký, basados ​​en la idea de auto-reductibilidad, pero estudió clases de complejidad más pequeñas como NC 1 y NL.$n^{1-O(1)}$$n^{1+\Omega(1)}$$^1$

Tenga en cuenta que entre los enfoques mencionados anteriormente, algunos de ellos consideran tanto el tamaño como la profundidad de los circuitos, mientras que otros enfoques solo consideran la profundidad del circuito. En particular, el enfoque semi-algebro-geométrico de Mulmuley , el enfoque de protocolo de prueba competitiva estudiado por Kol-Raz , y el enfoque de compensación de profundidad de tamaño de Allender-Koucký y Lipton-Williams se refieren tanto al tamaño como a la profundidad. de circuitos. Los resultados en Chan – Potechin , Raz – McKenzie , Cook – McKenzie – Wehr – Braverman – Santhanam y Wehr dan límites inferiores a la profundidad del circuito bajo configuraciones restringidas, independientemente del tamaño. Además, el referido juego de comunicación deAaronson-Wigderson solo se refiere a la profundidad del circuito.

Todavía es consistente con nuestro conocimiento que algunos problemas de P-completa no pueden ser calculados por circuitos de poca profundidad (es decir, ), independientemente del tamaño. Si el tamaño no es importante para los circuitos de pequeña profundidad (de entrada de ventilador limitada), entonces quizás tenga sentido centrarse más en la profundidad del circuito que en el tamaño de los circuitos de pequeña profundidad.$\log^{O(1)}n$

Siguiendo la sugerencia de Kaveh, pongo mi comentario como una respuesta (ampliada).

Con respecto a $Q1$ , una palabra de precaución está en orden: incluso la profundidad logarítmica si está lejos de ser entendida, no hablando de polilgargarítmico. Entonces, en el mundo no monótono, el verdadero problema es mucho menos ambicioso:

Problema de profundidad de registro de latido: demuestre un límite inferior superlineal (!) Para los circuitos . $NC^1$

El problema permanece abierto (por más de 30 años) incluso para circuitos lineales . Estos son circuitos fanin- 2 sobre la base { ⊕ , 1 } , y calculan transformaciones lineales f ( x ) = A x sobre G F ( 2 ) . El conteo fácil muestra que casi todas las matrices A requieren compuertas de Ω ( n 2 / log n ) , en cualquier profundidad. $NC^1$$2$$\{\oplus,1\}$$f(x)=Ax$$GF(2)$$A$$\Omega(n^2/\log n)$

Con respecto a $Q2$ : Sí, nosotros tenemos algunas medidas algebraicas / combinatoric, límites inferiores en la que vencería a los circuitos de registro de profundidad. Desafortunadamente, hasta ahora, no podemos probar límites suficientemente grandes en estas medidas. Digamos, por lineal -circuits, una medida de este tipo es la rigidez R A ( r ) de la matriz A . Este es el número más pequeño de entradas de A que uno necesita cambiar para reducir el rango a r . Es fácil demostrar que R A ( r ) ≤ ( n $NC^1$ $R_A(r)$$A$$A$$r$ mantiene para cadamatrizbooleana n × n A , y Valiant (1977) ha demostrado que este límite es ajustado para casi todas las matrices. Para superar los circuitos de profundidad logarítmica, es suficiente exhibir una secuencia dematricesbooleanas n × n A de manera que$R_A(r)\leq (n-r)^2$$n\times n$$A$$n\times n$$A$

para las constantes ϵ , δ > 0 . $R_A(\epsilon n)\geq n^{1+\delta}$$\epsilon,\delta>0$

Lo mejor que sabemos hasta ahora son las matrices con R A ( r ) ≥ ( n 2 / r ) log ( n / r ) . Para las matrices de Sylvester (es decir, matrices de productos internos), el límite inferior de Ω ( n 2 / r ) es fácil de mostrar . $A$$R_A(r)\geq (n^2/r)\log(n/r)$$\Omega(n^2/r)$

Tenemos medidas combinatorias para los circuitos generales (no lineales) , también Para un gráfico bipartito n × n G , deje que t ( G ) sea ​​el número más pequeño t de modo que G pueda escribirse como una intersección de t bipartito gráficos, cada uno de los cuales es una unión de a lo sumo t gráficos bipartitos completos. Para superar los circuitos generales de profundidad logarítmica, sería suficiente encontrar una secuencia de gráficos con$NC^1$$n\times n$$G$$t(G)$$t$$G$$t$$t$

para una constante ϵ > $t(G_n)\geq n^{\epsilon}$$\epsilon >0$

(Ver, por ejemplo, aquí sobre cómo sucede esto). Una vez más, casi todos los gráficos tienen . Sin embargo, lo mejor sigue siendo un límite inferior t ( G ) ≥ log 3 n para matrices Sylvester, debido a Lokam . $t(G)\geq n^{1/2}$$t(G)\geq \log^3 n$

Finalmente, permítanme mencionar que incluso tenemos una medida combinatoria "simple" (cantidad) un límite inferior débil (lineal) en el que produciría incluso límites inferiores exponenciales (!) Para circuitos no monótonos. Para un gráfico bipartito G , sea c ( G ) el número más pequeño de operaciones de unión fanin- 2 ( ∪ ) e intersección ( ∩ ) requeridas para producir G cuando se parte de las estrellas; Una estrella es un conjunto de aristas que unen un vértice con todos los vértices del otro lado. Casi todas las gráficas tienen c ( G ) = Ω ( n $n\times n$$G$$c(G)$$2$$\cup$$\cap$$G$ . Por otro lado, un límite inferior de$c(G)=\Omega(n^2/\log n)$

para una constante ϵ > $c(G_n)\geq (4+\epsilon)n$$\epsilon>0$

$\Omega(2^{N/2})$$f_G$$N$$G$$n\times m$$m=o(n)$$c(G_n)\geq (2+\epsilon)n$$c(G)\geq (2-\epsilon)n$$-\epsilon$$+\epsilon$$ACC$

$2+\epsilon$$P\neq NP$$c(G)$límite inferior: alguna clase de complejidad contiene una función que requiere grandes circuitos o fórmulas. Pero el objetivo final es crear una función rígida explícita , cuya definición no tenga un "olor algorítmico", no tenga aspectos de complejidad ocultos.