Álgebra abstracta para informáticos teóricos

Tengo una educación matemática de pregrado razonable, pero nunca me he sentido 100% cómodo con el álgebra abstracta (las matemáticas de grupos, anillos, campos, etc.). Creo que esto se debió en parte a que necesitaba ver aplicaciones y cualquiera que pudiera encontrar estaba en física, no en CS. Como mi interés es realmente CS, ¿hay materiales disponibles ahora (borradores en línea, notas de conferencias, videos, libros) que cubran el álgebra abstracta desde el punto de vista de las aplicaciones en CS y en particular los algoritmos / teoría? Estoy feliz de que estas aplicaciones sean completamente teóricas, pero no deberían asumir ningún conocimiento de álgebra abstracta preexistente.

Estoy bastante seguro de que si existieran estos recursos, serían apreciados por un gran número de investigadores de CS.

Puedes probar las notas del curso de Madhu Sudan: Álgebra y Computación

Un posible camino hacia el álgebra abstracta podría ser mirarlo desde el punto de vista de la criptografía, que se trata de algoritmos en campo finito. Los campos son anillos, y los campos también son dos grupos unidos por leyes simples. La teoría de campo utiliza espacios vectoriales en posición prominente (teoría de Galois), por lo que este ángulo debería cubrir una gran cantidad de álgebra abstracta. El libro

Una Introducción Computacional a la Teoría de Números y Algebra por V. Shoup

Por lo tanto, podría ser de interés.

Mi recomendación personal sería ignorar las solicitudes y estudiar un texto básico de matemáticas de pregrado sobre álgebra abstracta. No hay escasez de esos. Solo confíe en que todo esto es útil, y que el uso se revelará más fácilmente una vez que tenga una comprensión básica del material.

La mayoría del álgebra básica es constructiva y puede implementar fácilmente conceptos básicos para obtener una mejor comprensión, por ejemplo, algoritmos que verifican si una tabla de multiplicación es un grupo, un solucionador de ecuaciones en un grupo, un programa que verifica si dos estructuras algebraicas son isomorfas, etc. de estos problemas tienen soluciones de fuerza bruta que son fáciles de implementar, pero lentas. Cuanto más aprenda sobre álgebra, más atajos algorítmicos puede hacer para acelerar sus programas. Por ejemplo, las famosas pruebas de primalidad Miller-Rabin y AKS .

Consulte este libro de Rudolf Lidl y Harald Niederreiter: Introducción a los campos finitos y sus aplicaciones (2a edición, 1994) http://www.amazon.com/Introduction-Finite-Fields-their-Applications/dp/0521460948

Citando la descripción del libro en Amazon: "La teoría de los campos finitos es una rama del álgebra moderna que ha surgido en los últimos años debido a sus diversas aplicaciones en áreas como la combinatoria, la teoría de la codificación, la criptología y el estudio matemático de los circuitos de conmutación. ".

Además de la criptografía, una aplicación práctica muy agradable del álgebra en informática es quizás la implementación de fracciones, donde el numerador y el denominador son de tipo integral o "entero grande" y la longitud de codificación es pequeña al reducir las fracciones (es decir, factorizar el máximo común) divisor de numerador y denominador).

Con respecto a los tipos de datos "enteros grandes", un resultado interesante es el llamado "teorema del resto chino" que permite la paralelización de operaciones enteras una vez que se conoce una representación como factores primos de los argumentos.

Además, la mayoría de las cosas que se encuentran en el álgebra pueden ser estéticamente agradables (solo un punto de vista personal).