Límite inferior para determinante y permanente

A la luz del reciente abismo en el resultado de profundidad-3 (que entre otras cosas produce un circuito aritmético de profundidad -3 para el determinante sobre ), Tengo las siguientes preguntas: Grigoriev y Karpinski demostraron un límite inferior para cualquier circuito aritmético de profundidad-3 que calcule el determinante de matrices sobre campos finitos (que supongo, también vale para el permanente). La fórmula de Ryser para calcular el permanente da un circuito aritmético de profundidad 3 de tamañon×n$2^{\sqrt{n}\log{n}}$$n \times n$$\mathbb{C}$ n × $2^{\Omega{(n)}}$$n \times n$$O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}$. Esto muestra que el resultado es esencialmente ajustado para circuitos de profundidad 3 para el permanente sobre campos finitos. Tengo dos preguntas:

1) ¿Existe una fórmula de profundidad 3 para el determinante análogo a la fórmula de Ryser para el permanente?

2) ¿Un límite inferior en el tamaño de los circuitos aritméticos que calculan el polinomio determinante \ textit {siempre} produce un límite inferior para el polinomio permanente? (Over son los mismos polinomios).$\mathbb{F}_2$

Aunque mi pregunta actualmente es sobre estos polinomios sobre campos finitos, también me gustaría saber el estado de estas preguntas sobre campos arbitrarios.

El permanente está completo para VNP bajo proyecciones p sobre cualquier campo que no sea de la característica 2. Esto proporciona una respuesta positiva a su segunda pregunta. Si esta reducción fuera lineal, daría una respuesta positiva a su primera pregunta, pero creo que sigue abierta.

Más detalladamente: hay un polinomio tal que es una proyección de , es decir, hay una cierta sustitución que envía cada variable a una variable o una constante tal que después de esta sustitución el permanente esté calculando el determinante .d e t n ( X ) p e r m q ( n ) ( Y ) y i j x k ℓ q ( n ) × q ( n ) n × $q(n)$$det_n(X)$$perm_{q(n)}(Y)$$y_{ij}$$x_{k\ell}$$q(n) \times q(n)$$n \times n$

1) Por lo tanto, la fórmula de Ryser produce una fórmula de profundidad 3 (la profundidad no aumenta bajo las proyecciones porque las sustituciones se pueden hacer en las puertas de entrada) de tamaño para determinante. ACTUALIZACIÓN : Como @Ramprasad señala en los comentarios, ¡esto solo da algo no trivial si , ya que existe una fórmula trivial de profundidad 2 de tamaño para det. Estoy con Ramprasad porque lo mejor que sé es la reducción a través de ABP, que produce . q ( n ) = o ( n log n ) n ⋅ n ! = 2 O ( n log n ) q ( n ) = O ( n 3$2^{O(q(n))}$$q(n) = o(n \log n)$$n \cdot n! = 2^{O(n \log n)}$$q(n)=O(n^3)$

2) Si el permanente puede calcularse, de nuevo, sobre un campo de característica no 2, por un circuito de tamaño , entonces determinante puede calcularse por un circuito de tamaño . Entonces, un límite inferior de en el tamaño del circuito para produce un límite inferior de en el tamaño del circuito para el permanente ( inverso , no ). El produce una límite inferior permanente de a det límite inferior.s ( m ) n × n s ( q ( n ) ) b ( n ) d e t n b ( q - 1 ( n ) ) q 1 / q ( n $m \times m$$s(m)$$n \times n$$s(q(n))$$b(n)$$det_n$$b(q^{-1}(n))$$q$ q ( n ) = O ( n 3 ) b ( n 1 / 3 ) b ( $1/q(n)$$q(n)=O(n^3)$$b(n^{1/3})$$b(n)$

Es muy posible que el determinante sea, en cierto modo, más difícil que el permanente. Ambos son polinomios, el rango de advertencia (sumas de n potencias de formas lineales) del permanente es aproximadamente 4 ^ n, el rango de Chow (sumas de productos de formas lineales) es aproximadamente 2 ^ n. Claramente, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Para el determinante, esos números son solo límites inferiores. Por otro lado, ¡probé hace un tiempo que el rango Waring del determinante está limitado por (n + 1)! y esto podría estar cerca de la verdad.