El teorema de la iglesia y los teoremas de incompletitud de Gödel

Recientemente he estado leyendo sobre algunas de las ideas y la historia del trabajo innovador realizado por varios lógicos y matemáticos con respecto a la computabilidad. Si bien los conceptos individuales son bastante claros para mí, estoy tratando de comprender con firmeza las interrelaciones y el nivel abstracto en el que están vinculados.

Sabemos que el teorema de Church (o más bien, las pruebas independientes del problema Entscheidungsproblem de Hilbert de Alonzo Church y Alan Turing) demostraron que, en general, no podemos calcular si una afirmación matemática dada en un sistema formal es verdadera o falsa. Según tengo entendido, la tesis de Church-Turing proporciona una descripción bastante clara de la equivalencia (isomorfismo) entre el cálculo lambda de Church y las máquinas de Turing, por lo tanto, efectivamente tenemos un modelo unificado para la computabilidad. (Nota: Hasta donde yo sé, la prueba de Turing hace uso del hecho de que el problema de detención es indecidible. Corríjame si me equivoco).

Ahora, el primer teorema de incompletitud de Gödel establece que no todas las declaraciones en un sistema formal consistente con suficiente potencia aritmética pueden ser probadas o refutadas (decididas) dentro de este sistema. En muchos sentidos, me parece que me dice exactamente lo mismo que los teoremas de Church, ¡considerando que el cálculo lambda y las máquinas de torneado son sistemas de tipo efectivamente formales!

Sin embargo, esta es mi interpretación holística, y esperaba que alguien pudiera arrojar algo de luz sobre los detalles. ¿Son estos dos teoremas efectivamente equivalentes? ¿Hay alguna sutileza para ser observada? Si estas teorías buscan esencialmente la misma verdad universal de diferentes maneras, ¿por qué se abordaron desde ángulos tan diferentes? (Hubo más o menos 6 años entre la prueba de Godel y la de Church). Finalmente, ¿podemos decir que el concepto de demostrabilidad en un sistema formal (cálculo de prueba) es idéntico al concepto de computabilidad en la teoría de la recursividad (máquinas de Turing / cálculo lambda)?

Primero, le sugiero que lea "Metamatemáticas" de Kleene como un buen libro sobre estos temas. Los primeros dos capítulos del volumen I de la "Teoría de la recursión clásica" de Odifreddi también pueden ser útiles para comprender la relación entre estos conceptos.

Sabemos que el teorema de Church (o más bien, las pruebas independientes del problema Entscheidungsproblem de Hilbert de Alonzo Church y Alan Turing) demostraron que, en general, no podemos calcular si una afirmación matemática dada en un sistema formal es verdadera o falsa.

Creo que te estás refiriendo al teorema de Church de que el conjunto de teoremas de la lógica de primer orden no es decidible. Es importante tener en cuenta que el idioma es de primer orden.

Según tengo entendido, la tesis de Church-Turing proporciona una descripción bastante clara de la equivalencia (isomorfismo) entre el cálculo lambda de Church y las máquinas de Turing, por lo tanto, efectivamente tenemos un modelo unificado para la computabilidad.

No. La equivalencia si la computabilidad lambda y la computabilidad de Turing es un teorema de Kleene. No es una tesis. Se considera como evidencia que apoya la tesis de la Iglesia.

Nota: Hasta donde yo sé, la prueba de Turing hace uso del hecho de que el problema de detención es indecidible. Corrígeme si me equivoco.

Ahora, el primer teorema de incompletitud de Gödel establece que no todas las declaraciones en un sistema formal consistente pueden ser probadas dentro de este sistema. En muchos sentidos, me parece que me está diciendo exactamente lo mismo que los teoremas de Church, ¡considerando que el cálculo lambda y las máquinas de torneado son sistemas efectivamente formales!

No. El teorema de Godel establece que por cada teoría de consistente y recursivamente enumerable que contiene suficiente aritmética , hay una oración st y no se pueden demostrar.$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Esto no dice lo mismo. No dice nada sobre el conjunto de teoremas de la teoría que es indecidible.

Sin embargo, esta es mi interpretación holística, y esperaba que alguien pudiera arrojar algo de luz sobre los detalles. ¿Son estos dos teoremas efectivamente equivalentes? ¿Hay alguna sutileza para ser observada? Si estas teorías esencialmente miran la misma verdad universal de diferentes maneras, ¿por qué se abordaron desde ángulos tan diferentes? (Hubo más o menos 6 años entre la prueba de Godel y la de Church).

A lo largo de los años ha habido muchos abusos de los teoremas de Godel (y teoremas similares). Uno debe tener mucho cuidado al hacer interpretaciones de ellos. Hasta donde he visto, los abusos son generalmente el resultado de olvidar mencionar alguna condición en el teorema o combinar los teoremas con otras creencias. Una mirada cuidadosa muestra que estos teoremas, aunque están relacionados, no son equivalentes.

Finalmente, ¿podemos decir que el concepto de demostrabilidad en un sistema formal (cálculo de prueba) es idéntico al concepto de computabilidad en la teoría de la recursividad (máquinas de Turing / cálculo lambda)?

No entiendo lo que quieres decir con "idéntico". Ciertamente hay muchas relaciones entre computabilidad y demostrabilidad. Es posible que pueda hacer un comentario más útil si aclara lo que quiere decir con que sean idénticos.

actualizar

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

Sobre la relación entre demostrabilidad en sistema formal y computabilidad. Una es la siguiente: si el sistema es efectivo, entonces el conjunto de expresiones derivables en él es re, y el sistema es un caso especial de una gramática. Grammars es otra forma de definir el concepto de computable que es equivalente a la computabilidad de la máquina Turing.

¿podemos decir que el concepto de demostrabilidad en un sistema formal (cálculo de prueba) es idéntico al concepto de computabilidad en la teoría de la recursividad (máquinas de Turing / cálculo lambda)?

Estos son muy similares pero no idénticos, porque algunos de los pasos en el cálculo de la prueba pueden representar operaciones no computables.

$ZFC$$\wp(N)$

Del mismo modo, el teorema de integridad de Gödel nos dice que cualquier fórmula válida en la lógica de primer orden tiene una prueba, pero el teorema de Trakhtenbrot nos dice que, en modelos finitos, la validez de las fórmulas de primer orden es indecidible.

Por lo tanto, las pruebas finitas no necesariamente corresponden a operaciones computables.

Aunque esto no es exactamente lo que está preguntando, está en la misma línea y esperamos que usted (y otros lectores de su pregunta) lo encuentren interesante. Definitivamente deberías leer sobre la correspondencia de Curry-Howard , que dice que la categoría de programas es, en un sentido específico, isomorfa a la categoría de pruebas constructivas . (Esto está discutiendo pruebas y computabilidad en un nivel diferente que las otras respuestas).

Trataré de responder tu pregunta desde el punto de vista que tomes, en resumen; También estoy tratando de relacionar los dos teoremas de una manera diferente.

El primer teorema de incompletitud de Gödel establece que en un sistema formal consistente con suficiente potencia aritmética, hay una declaración P tal que no existe prueba de ello ni de su negación. Esto no implica que no haya un algoritmo de decisión para el conjunto de teoremas de la teoría, que también diría que ni P ni P son teoremas. El resultado del teorema de Church-Turing dice que dicho algoritmo no existe. Ese es también el núcleo de la respuesta de Kaveh, espero haberlo explicado más claramente.

Ahora intentaré demostrar que el teorema de Church-Turing implica el teorema de Gödel, explícame dónde y si me equivoco. El conjunto de teoremas Thm es parcialmente decidible, y supongamos que R es un programa que lo reconoce (es decir, se detiene con "sí" si la entrada está en Thm, de lo contrario continúa ejecutándose). Usemos esto para construir un nuevo algoritmo: dada una declaración Q, para ver si es demostrable, ejecute R en paralelo en Q y no Q, intercalando su ejecución y deteniéndose cuando el primero de ellos se detenga, y produciendo "No" si "no Q" fue probado, y "Sí" de lo contrario; Esto da un algoritmo computable. Asumiendo por contradicción que todas las declaraciones pueden ser probadas o refutadas, este algoritmo resolvería el problema Entscheidungs, ¡pero eso es absurdo! Por lo tanto, debe haber una declaración que pueda '