¿Cuándo es relajado contar duro?

Supongamos que atenuamos el problema de contar las coloraciones adecuadas contando las coloraciones ponderadas de la siguiente manera: cada coloración adecuada obtiene el peso 1 y cada coloración incorrecta obtiene el peso donde es algo constante y es el número de aristas con puntos finales coloreados de la misma manera. Cuando va a 0, esto se reduce a contar los colores adecuados, lo que es difícil para muchos gráficos. Cuando c es 1, cada coloración adquiere el mismo peso y el problema es trivial. Cuando la matriz de adyacencia de la gráfica multiplicada por tiene un radio espectral por debajo de$c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$, esta suma puede ser aproximada por propagación de creencias con garantía de convergencia, por lo que es fácil en la práctica. También es fácil en teoría porque un árbol de cómputo en particular exhibe una disminución de las correlaciones y, por lo tanto, permite un algoritmo de tiempo polinómico para una aproximación garantizada - Tetali, (2007)

Mi pregunta es: ¿qué otras propiedades del gráfico dificultan este problema para los algoritmos locales? Difícil en el sentido de que solo se puede abordar un pequeño rango de .$c$

Edición 23/09 : Hasta ahora me encontré con dos algoritmos deterministas de aproximación polinómica para esta clase de problema (derivados del documento STOC2006 de Weitz y del enfoque de "expansión de la cavidad" de Gamarnik para el conteo aproximado), y ambos enfoques dependen del factor de ramificación del autocontrol evitando caminatas en el gráfico. El radio espectral aparece porque es un límite superior en este factor de ramificación. La pregunta es entonces: ¿es una buena estimación? ¿Podríamos tener una secuencia de gráficos en los que el factor de ramificación de las caminatas autoevitatorias esté limitado, mientras que el factor de ramificación de las caminatas regulares crece sin límite?

Edición 10/06 : Este artículo de Allan Sly (FOCS 2010) parece relevante ... el resultado sugiere que el factor de ramificación del árbol infinito de caminatas auto evitadoras captura con precisión el punto en el que el conteo se vuelve difícil.

Edición 10/31 : conjeturas de Alan Sokal ( p.42 de "La polinomia de Tutte multivariante" ) que hay un límite superior en el radio de la región libre de cero del polinomio cromático que es lineal en términos de maxmaxflow (flujo máximo máximo sobre todos los pares s, t). Esto parece relevante porque las correlaciones de largo alcance aparecen cuando el número de coloraciones adecuadas se acerca a 0.

Esto es difícil para gráficos planos, al menos para seis colores o más. Ver "Inaproximabilidad del polinomio de Tutte de un gráfico plano" por Goldberg y Jerrum

Algunos comentarios más:

Un algoritmo local para contar computará el recuento a partir de un conjunto de estadísticas por nodo donde cada estadística es una función de alguna vecindad gráfica del nodo. Para los colores, esas estadísticas están relacionadas con la "probabilidad marginal de encontrar el color c". Aquí hay un ejemplo de esta reducción para un gráfico simple.

Del reciente artículo de Alan Sly se deduce que contar conjuntos independientes usando un algoritmo local es tan difícil como contar conjuntos independientes usando cualquier algoritmo. Mi sospecha de que esto es cierto para contar en general con gráficos.

Para algoritmos locales, la dureza depende de cómo se comporta la correlación entre nodos con respecto a la distancia entre nodos. Para distancias lo suficientemente grandes, esta correlación esencialmente tiene solo dos comportamientos: la correlación decae exponencialmente en la distancia del gráfico o no decae en absoluto.

Si hay una disminución exponencial, las estadísticas locales dependen de un vecindario cuyo tamaño es polinómico en tamaño del gráfico, por lo que el problema de contar es fácil.

En los modelos de física estadística se observó (es decir, de Gennes, Emery) que existe una conexión entre las caminatas que se evitan por sí mismas, la disminución de la correlación y las transiciones de fase. El punto en el que la función generadora de caminatas autoevitantes en una red se convierte en infinita corresponde a la temperatura a la que aparecen las correlaciones de largo alcance en el modelo.

Se puede ver en la construcción del árbol de caminar evitativo de Weitz por qué los paseos de evitación surgen en la desintegración de correlación: el marginal puede representarse exactamente como la raíz de un árbol de caminatas de auto evitación, por lo que si el factor de ramificación de este árbol es suficientemente pequeño, las hojas del árbol se vuelven irrelevantes eventualmente.

Si la "dureza local" implica dureza, entonces es suficiente cuantificar las propiedades que determinan la tasa de crecimiento de las caminatas que se evitan por sí mismas. La tasa de crecimiento exacta se puede extraer de la función generadora para las caminatas que se evitan por sí mismas, pero es difícil de calcular. El radio espectral es fácil de calcular y proporciona un límite inferior.

Algunos comentarios: no es una respuesta.

Si es lo suficientemente pequeño con respecto al número de vértices en el gráfico, entonces los colores incorrectos sumarán menos de 1. Por lo tanto, hay una reducción trivial del caso de peso-0 a este caso: simplemente elija para que sea pequeño suficiente. Esto significa que el problema es # P-hard para cualquier colección de instancias con , para cualquier . (Aquí permito que sea ​​diferente en diferentes instancias, por lo que las clases son uniones de clases con fija ).$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

Ahora suponga que es realmente fijo, como en la configuración del problema. Luego, para gráficos lo suficientemente grandes, siempre es posible superar una suma ponderada de 1 para coloraciones incorrectas, por lo que esta reducción directa no funciona.$c$

Está solicitando propiedades estructurales de la clase de gráficos que permitirían que el problema siga siendo difícil. Por lo que puedo decir, será difícil casi siempre. Pero esto es muy incompleto y necesita más trabajo.