Consecuencias de

Si bien el teorema de Adleman muestra que , no conozco ninguna literatura que investigue la posible inclusión de . ¿Qué consecuencias teóricas de la complejidad tendría tal inclusión? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ $\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$

El teorema de Adleman a veces se llama "el progenitor de los argumentos de desrandomización". Se cree que es desrandomizable, mientras que no hay evidencia de que la "cuantidad" de pueda ser eliminada de alguna manera. ¿Es esta posible evidencia de que es poco probable que esté en ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{P}/\text{poly}$

— Martin Schwarz
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Diría que no tenemos buenas razones para pensar que BQP está en P / poli. Tenemos razones para pensar que BQP no está en P / poli, pero son más o menos idénticas a nuestras razones para pensar que BQP ≠ BPP. Por ejemplo, si BQP⊂P / poly, el Factoring está en P / poly, que es suficiente para romper muchas criptografías de acuerdo con las definiciones de seguridad estándar.

Además, como usted señala correctamente, no hay un análogo cuántico del truco de Adleman, de hecho, no hay forma de "extraer la cuantidad de un algoritmo cuántico", de forma análoga a cómo se puede extraer la aleatoriedad de un algoritmo aleatorio. Por lo tanto, no creo que nadie tenga una idea de en qué debería consistir el consejo P / poly para simular una computadora cuántica (más de lo que tiene una suposición, por ejemplo, en el caso de NP vs.P / poly).

Una nota final: mi trabajo con Alex Arkhipov (y el trabajo independiente de Bremner-Jozsa-Shepherd), puede adaptarse fácilmente para mostrar que si QUANTUM-SAMPLING está en P / poly (OK, en "BPP-SAMPLING / poly") , entonces P ^#P ⊂BPP ^NP / poly, y por lo tanto la jerarquía polinómica se colapsa --- en este caso, creo, al cuarto nivel. En la actualidad, sin embargo, no sabemos cómo adaptar este tipo de resultado de los problemas de muestreo a los problemas de decisión.

— Scott Aaronson
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Muchas gracias por responder, Scott! Una cosa que me pregunto: ¿cuáles son los resultados conocidos que relacionan P ^ # P con los niveles de PH / poli? ¿Qué se sabe realmente sobre P ^ # P vs. PH / poly? (por ejemplo, ¿hay alguna versión no uniforme del teorema de Toda?). ¿Por qué P ^ # P en PH / poly colapsa PH / poly, si no conocemos PH / poly en P ^ # P? ¿O qué me estoy perdiendo?

— Martin Schwarz

Lo que hay que hacer aquí es generalizar la prueba del teorema de Karp-Lipton. Como primer paso, no es difícil mostrar (usando el razonamiento de estilo KL) que si coNP está en NP / poly, entonces PH colapsa al 3er nivel. Pero eso debería relativizarse, para mostrar que si coNP ^ NP ^ NP está en NP ^ NP ^ NP / poly, entonces PH colapsa al 5 ° nivel. Y ciertamente P ^ # P en BPP ^ NP / poly implica coNP ^ NP ^ NP está en NP ^ NP ^ NP / poly. Pero hmm, ¡solo estoy colapsando al quinto nivel aquí! Suponiendo que esto sea correcto, ¿alguien puede mejorarlo a un colapso de 4to nivel? (Si no, ¡es el colapso de PH "más alto" que he visto! :))

— Scott Aaronson

3er nivel lo hará. Tanto

Karp – Lipton se relativizan, por lo que primero

, y segundo, si

, entonces

B P P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{BPP}\subseteq\mathrm P/\mathrm{poly}$

{B P P}^{N P} / p o l y = P^{N P} / p o l y

$\mathrm{BPP}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}=\mathrm{P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{2}^{P} \subseteq {(B P) P}^{N P} / p o l y

$\Sigma^P_2\subseteq\mathrm{(BP)P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{3}^{P} = Π_{3}^{P}

$\Sigma^P_3=\Pi^P_3$ .

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

S_{3}^{P} \subseteq Z P P^{N P^{N P}} \subseteq Σ_{3}^{P} \cap Π_{3}^{P}

$S^P_3\subseteq\mathrm{ZPP^{NP^{NP}}}\subseteq\Sigma^P_3\cap\Pi^P_3$

S^{P}

$S^P$