¿Cuál es la complejidad espacial de calcular valores propios?

Estoy buscando un documento de encuesta o un libro que cubra los resultados sobre la complejidad espacial de las operaciones comunes de álgebra lineal, como el rango de la matriz, el cálculo de valores propios, etc. Insisto en la parte de "complejidad espacial" que significa la complejidad del espacio de trabajo, en lugar de la complejidad del tiempo ya que Es más fácil rastrear los resultados de tiempo. Agradezco cualquier referencia al respecto.

Gracias.

linear-algebra space-complexity

— Gil
fuente

Supongo que la complejidad es siempre como máximo lineal (por ejemplo,

para una matriz

). ¿Te interesa el "espacio total" o el "espacio de trabajo"?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

Debería haber mencionado que estoy interesado en el espacio de trabajo.

— Gil

Estoy seguro de que es

para una matriz

. La razón básica es que conozco dos métodos útiles para calcularlos y ambos son cuadráticos en el espacio. Primero es calcular el polinomio característico (cuadrático) y encontrar las raíces. El segundo es usar algunos métodos de aproximación que todos necesitan almacenar una matriz modificada (pero no puedo dar más detalles sobre esto, ha pasado un tiempo desde que estaba estudiando álgebra lineal numérica).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— yo '

Para ampliar el punto hecho por @Yuval Filmus, la complejidad del espacio es bastante sensible al modelo de cálculo específico. En particular, dado que la salida es de tamaño lineal, uno podría jugar trucos usando la cinta de salida como espacio de trabajo a menos que el modelo especifique claramente una cinta de salida de solo escritura. Para evitar tales problemas, me vería tentado a reformular como problemas de decisión (por ejemplo, dado como entrada tres matrices, verifique si la tercera es el producto de las dos primeras). ¿Podría especificar el modelo que tenía en mente? (Además, no conozco libros sobre complejidad espacial, y tampoco encontré ninguna encuesta útil).

— András Salamon

con respecto a @ AndrásSalamon, por lo que una versión de decisión que es útil para mí necesita puede ser: es el valor propio número k en mayor que q. para entero ky racional q. Gracias.

— Gil

Respuestas:

Las versiones de decisión de muchos problemas comunes en álgebra lineal sobre los enteros (o racionales) están en la clase , vea el documento $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: Estructura e importancia de la clase Logspace-MOD. Teoría de sistemas matemáticos 25 (3): 223-237 (1992)

está contenido en . $\mathsf{DET}$ $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Calcular los valores propios es un poco más delicado:

1) En , se pueden calcular los coeficientes del polinomio característico. $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) Luego puede usar el algoritmo paralelo de Reif y Neff para calcular aproximaciones a los valores propios. El algoritmo se ejecuta en una CREW-PRAM en tiempo logarítmico con muchos procesadores polinomiales, por lo que se puede simular con un espacio polilogarítmico. (No se indica explícitamente en el documento, pero su PRAM debe ser uniforme en el espacio logarítmico). El espacio utilizado es polilogarítmico en el tamaño de la matriz de entrada y la precisión . La precisión significa que obtiene aproximaciones hasta un error aditivo de . $p$ $p$ $2^{-p}$

Esta es una concatenación de funciones computables en el espacio polilogarítmico. (Las cintas de salida son de solo escritura y unidireccionales).

C. Andrew Neff, John H. Reif: Un algoritmo eficiente para el problema de raíces complejas. J. Complejidad 12 (2): 81-115 (1996)

— Markus Bläser
fuente

$log^2$ $NC^2$

— Lior Eldar
fuente