Lema de regularidad para gráficos dispersos

El lema de regularidad de Szemeredi dice que cada gráfico denso puede aproximarse como una unión de $O(1)$ muchos gráficos expansores bipartitos. Más exactamente, hay una partición de la mayoría de los vértices en conjuntos $O(1)$ tal manera que la mayoría de los pares de conjuntos forman expansores bipartitos (el número de conjuntos en la partición y el parámetro de expansión dependen del parámetro de aproximación):

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Hay versiones de este lema para gráficos dispersos de "buen comportamiento", ver, por ejemplo:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Lo que me sorprende de estas formulaciones es que solo garantizan que la mayoría de los pares de conjuntos en la partición forman expansores bipartitos, y estos expansores bipartitos pueden estar vacíos. Por lo tanto, en gráficos dispersos en general, es bastante posible que todos los bordes entre diferentes partes en la partición de los vértices no pertenezcan a un expansor.

Me pregunto si hay formulaciones que dan que la mayoría de los bordes entre las partes son de un expansor, o si no hay esperanza para tal formulación.

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
fuente

pero ¿no parece intuitivo que el thm, que es para gráficos densos, se descomponga de alguna manera en los dispersos? tenga en cuenta que la referencia de wikipedia vinculada en realidad no dice nada acerca de los gráficos de expansión, lo que sugiere que podría ser una interpretación / formulación posterior ...

— vzn

(1) El término habitual para los pares de conjuntos de buen comportamiento son "pares regulares" (en Wikipedia par "pseudoaleatorio"). Lo reemplacé por "expansores bipartitos" porque encuentro esta terminología más natural para mí. En cualquier caso, la intención es que si selecciona subconjuntos lo suficientemente grandes de ambos lados del par, el número de bordes entre los subconjuntos es proporcional al número de bordes en el par. (2) Por supuesto, lo que es cierto para los gráficos densos puede dejar de ser cierto para los gráficos dispersos. Mi pregunta es exactamente sobre el grado en que las propiedades del caso denso continúan teniendo en el caso escaso.

— Dana Moshkovitz

A continuación hay una respuesta larga, pero tl; dr en el caso general no hay esperanza para tal formulación, pero para muchas de las clases particulares de gráficos dispersos que tienen lemas de regularidad, esta formulación existe.

$\varepsilon > 0$ $n$ $G = (V, E)$ $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$

$|V_0| \le \varepsilon n$ $V_1, \dots, V_p$ $1$ $V_0$ $\varepsilon p^2$ $(V_i, V_j)$
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ $d(\cdot, \cdot)$

$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

El "fraseo combinatorio" (acabo de inventar estos nombres, no son estándar) es el original y probablemente más famoso, mientras que el "fraseo analítico" es más moderno y está relacionado con límites de gráficos, etc. (creo que se popularizó aquí) Para mí, el analítico es la formalización correcta del "gráfico aproximado por la unión de expansores bipartitos", ya que proporciona un control sobre el "error" total de tal aproximación, y no existe un conjunto excepcional para ocultar la masa. Pero en este punto esto es solo cosmético, porque es un lema fácil pero importante de que estas dos frases son equivalentes. Para pasar de Combinatorio a Analítico, solo la unión limita la contribución a la discrepancia de las partes irregulares y el conjunto excepcional. Para pasar de Analítico a Combinatorio, simplemente mueva cualquier parte que contribuya con demasiada discrepancia al conjunto excepcional y aplique la Desigualdad de Markov para controlar su masa.

Ahora para escasa regularidad. El objetivo de la regularidad escasa es reemplazar la en los respectivos desigualdades con , donde es la fracción de todos los bordes posibles presentan en . Críticamente, con este cambio, las dos frases ya no son equivalentes. Más bien, la redacción analítica es más fuerte: todavía implica Combinatoria exactamente como antes, pero Combinatoria generalmente no implica Analítica, porque (como se anticipa en el OP) uno puede ocultar mucha densidad en el conjunto excepcional o entre lo no regular pares de partes De hecho, esta separación es formal: los gráficos de límite inferior para el SRL denso (digamos, este $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ) implican que la Frase analítica no se extiende en general a gráficos dispersos, pero el documento de Scott vinculado en el OP muestra que la Frase combinatoria en realidad se extiende a todos los gráficos dispersos sin condiciones.

La encuesta vinculada en el OP se refiere principalmente a una SRL para gráficos dispersos "superiores regulares", lo que significa que el gráfico no tiene cortes que sean más densos que el promedio en más de un factor constante. Para estos gráficos en particular, los enunciados combinatorios y analíticos son equivalentes, porque no puede haber demasiada masa adicional oculta en las partes excepcionales, por lo que su contribución a la discrepancia puede estar limitada por la unión como en el caso denso. Entonces, estos gráficos tienen una interpretación "aproximada por unión de expansores bipartitos".

Finalmente, debo mencionar que hay muchas otras hipótesis en la literatura que también implican equivalencia entre estas frases. Por ejemplo, Upper Regularity (definida aquí ) es más general que Upper Regularity y aún es suficiente para implicar equivalencia. Sin embargo, para esta clase de gráficos y otras, solo soy consciente de los lemmas de regularidad débiles asociados . $L_p$

— GMB
fuente

Además, disculpas por la necromancia del hilo: esto simplemente se alineó con mi revisión actual y pensé que compartiría lo que encontré.

— GMB