Invariantes algebraicos (o numéricos) de clases de complejidad

Espero que esta pregunta no sea demasiado ingenua para este sitio.

En matemáticas (topología, geometría, álgebra) es común que uno distinga entre dos objetos creando un invariante algebraico o numérico, y demostrando que los dos objetos tienen valores diferentes. Me pregunto hasta qué punto se ha intentado esto con las clases de complejidad (o si lo ha hecho, por qué nunca he oído hablar de eso). Las estructuras algebraicas se muestran mucho en la informática teórica en su conjunto (cf Usos de las estructuras algebraicas en la informática teórica ), entonces, ¿por qué no en la teoría de la complejidad?

En mi ingenuidad puedo imaginar una noción de equivalencia de dos idiomas: la existencia de una reducción del tiempo polinomial que también es reversible (o una biyección en las cuerdas). También puedo imaginar que esta noción no es adecuada: ningún lenguaje finito de cardinalidad diferente podría considerarse equivalente, a pesar de que a menudo nos interesan los idiomas infinitos.

¿Hay alguna otra noción más débil de isomorfismo de idiomas que haya arrojado resultados interesantes? ¿Hay otros tipos de invariantes con sabor numérico que se hayan utilizado para distinguir las clases de complejidad?

$\cong^p$$A$$B$$A \equiv_m^p B$$A$$B$$\equiv_T^p$$P$$NP$

$\equiv_T^p$$f: 2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$A \equiv_T^p B$$f(A) = f(B)$.

$f:2^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$$f(A) \neq f(B)$$A \not\equiv_T^p B$

Pero clasificar todas las clases de equivalencia también es más fuerte de lo que generalmente nos importa, ya que el número de clases de equivalencia que aparecen como clases de complejidad natural es comparativamente pequeño (a pesar del tamaño prohibitivo del zoológico de complejidad). Sin embargo, hay otros invariantes "numéricos" que podemos asociar a los idiomas. Uno de ellos es su densidad: la densidad de un lenguaje es la función número de cadenas en de longitud . Tenga en cuenta que la densidad se conserva, hasta un cambio polinomial, por isomorfismos de tiempo polivinílico, pero no necesariamente por equivalencias de tiempo polinomial (por ejemplo, todos los lenguajes en son equivalentes de tiempo polinomial, pero pueden tener densidades muy diferentes).$A$$d_A(n) :=$$A$$\leq n$$P$

Sabemos cosas como: si es polinomialmente escaso ( ), entonces no puede ser completo a menos que (Teorema de Mahaney). Hay muchos otros resultados sobre idiomas dispersos y su relación con las clases de complejidad. Para obtener buenas encuestas, vea Cai y Ogihara "Sparse Sets versus Complexity Classes" en Complexity Theory Retrospective II (disponible en línea - solo Google) y el par de artículos de Hemaspaandra y Glaßer "Un momento de claridad perfecta I, II" en SIGACT News.$A$$d_A(n) \leq poly(n)$$A$$NP$$P=NP$

Como mencionó @SureshVenkat, puedes ver la teoría de la complejidad geométrica a la luz de la que estás hablando. Sin embargo, los objetos algebraicos utilizados allí, es decir, las representaciones, se parecen más a las propiedades generales de un lenguaje que a las propiedades numéricas per se, pero al menos son propiedades de un sabor algebraico.

Finalmente, en la teoría de la complejidad algebraica, una propiedad numérica que vale la pena mencionar, pero que probablemente no funcionará para resolver las grandes preguntas, es el grado. (Como en el grado de un polinomio.) El límite de grado de Strassen sigue siendo el único límite inferior superlineal conocido en los circuitos algebraicos no restringidos. El grado también se usa, por ejemplo, en Razborov-Smolensky y muchas otras áreas de baja complejidad de circuitos (booleanos).