¿Razones por las cuales una gráfica puede no ser

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Mientras razonaba un poco sobre esta pregunta , he tratado de identificar todas las diferentes razones por las cuales un gráfico puede no ser colorable. Estas son las dos únicas razones que pude identificar hasta ahora: $G = (V_G,E_G)$ $k$

contiene una camarilla de tamaño . Esta es la razón obvia. $G$ $k+1$
Existe un subgrafo de manera que ambas afirmaciones son ciertas: $H = (V_H, E_H)$ $G$
- no es colorable. $H$ $k-1$
- . En otras palabras, existe un nodo en pero no en , de manera que está conectado a cada nodo en . $\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G$ $x$ $G$ $H$ $x$ $H$

Podemos ver las 2 razones anteriores como reglas. Al aplicarlos de forma recursiva, las únicas 2 formas de construir un gráfico no coloreable que no contenga una camarilla son: $k$ $k+1$

Comience desde un ciclo de longitud par (que es coloreable), luego aplique la regla 2 para veces. Tenga en cuenta que un borde no se considera un ciclo de longitud (de lo contrario, este proceso tendría el efecto de construir una camarilla ). $2$ $k-1$ $2$ $k+1$
Comience desde un ciclo de longitud impar (que es coloreable), luego aplique la regla 2 para veces. La duración del ciclo de inicio debe ser mayor que (de lo contrario, este proceso tendría el efecto de construir una camarilla ). $3$ $k-2$ $3$ $k+1$

Pregunta

¿Hay alguna otra razón, aparte de los 2 anteriores, que hace un no gráfico plausible? $k$

$\$
Actualización 30/11/2012

Más precisamente, lo que necesito es algún teorema de la forma:

Un gráfico tiene un número cromático si y solo si ... $G$ $\chi(G) = k + 1$

El cálculo de Hajós , señalado por Yuval Filmus en su respuesta, es un ejemplo perfecto de lo que estoy buscando, ya que un gráfico tiene un número cromático si y solo si puede derivarse del axioma aplicando repetidamente las 2 reglas de inferencia del cálculo. El número de Hajós es el número mínimo de pasos necesarios para derivar $G$ $\chi(G) = k + 1$ $K_{k+1}$ $h(G)$ (es decir, es la longitud de la prueba más corta). $G$

Es muy interesante que:

La cuestión de si existe un gráfico cuya es exponencial en el tamaño de $G$ $h(G)$ $G$ todavía está abierta.
Si tales no existe, entonces . $G$ $NP = coNP$

— Giorgio Camerani
fuente

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Repetiré mi comentario de la pregunta a la que se vincula en caso de que no conozca el teorema (que todos los que piensan en colorear deberían ser) de Erdős: dados los números naturales gyk, hay un gráfico con circunferencia al menos gy cromática número al menos k. La circunferencia de un gráfico es el tamaño del ciclo más pequeño, lo que significa que si tiene una circunferencia de al menos 3, cada camarilla máxima es de tamaño 2 (cada borde es una camarilla máxima).

— Pål GD

2

en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger_conjecture_%28graph_theory%29

$\hspace{1.65 in}$

2

Una observación simple que a menudo es útil: cada clase de color es un conjunto independiente. Si puede demostrar que no hay un conjunto independiente grande, entonces sabrá que necesitará muchos colores.

— Jukka Suomela

1

Si siempre hubiera una razón simple para que los gráficos no sean

coloreables, el problema de coloración del gráfico no sería NP-difícil. A menos que P = NP, algunos gráficos no son

coloreables solo porque .

k

$k$

k

$k$

— Jeff el

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@ Jɛ ﬀ E: una razón puede ser simple, pero difícil de calcular. Hay una razón bastante simple por la que un gráfico tiene o no una

Clique, pero sigue siendo NP-hard.

k

$k$

— Luke Mathieson el

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Deberías consultar el cálculo de Hajós . Hajós demostró que cada gráfico con número cromático al menos tiene un subgráfico que tiene una "razón" para requerir colores. La razón en cuestión es un sistema de prueba para requerir colores. El único axioma es , y hay dos reglas de inferencia. Vea también este documento de Pitassi y Urquhart sobre la eficiencia de este sistema de prueba. $k$ $k$ $k$ $K_k$

— Yuval Filmus
fuente

1

Excelente, esto es lo que estaba buscando.

— Giorgio Camerani

1

Gracias por la anotación. No sabía sobre la construcción de Hajos anteriormente.

— Chandra Chekuri

15

Una respuesta parcial, ya que no conozco una buena "razón" que se pueda generalizar, pero el siguiente gráfico (desvergonzado mordido desde aquí ):

Gráfico no coloreable 3 sin K4 o ciclo impar con un vecino completamente conectado

No es de 3 colores, pero obviamente es de 4 colores (es plano), y no contiene $K_{4}$ , ni ningún ciclo con un vértice adicional conectado a todos los vértices del ciclo (a menos que me falte algo, pero los únicos vértices conectado a un vértice y su vecino están en los 3 ciclos). Yendo más lejos, podría aplicar una versión de la regla 2 para obtener una gráfica del número cromático 5.

Sospecharía que para cualquier género dado, hay un gráfico de un cierto número cromático mínimo (vea la conjetura de Heawood ) que no sigue las reglas 1 o 2. Por supuesto, no tengo otra prueba que la intuición.

— Luke Mathieson
fuente

El gráfico de Petersen es un ejemplo más pequeño de lo mismo. Sin embargo, tanto el gráfico de arriba como el de Petersen tienen menores de

, lo que se remonta al comentario anterior sobre Hadwiger.

K_{4}

$K_4$

— William Macrae

1

Sin embargo, la Conjetura de Hadwiger es una condición necesaria, pero no suficiente, por lo que un gráfico tiene un número cromático

si tiene un

menor y algo más . Como JeffE señala, por supuesto, es probable que algo más sea solo porque (en el sentido de que no es una respuesta simple).

k

$k$

K_{k}

$K_{k}$

— Luke Mathieson el

@LukeMathieson: Extremadamente interesante. ¿Tiene un ejemplo de un gráfico que tiene una

menor y que es

colorable?

K_{k}

$K_k$

k - 1

$k-1$

— Giorgio Camerani

55

Tome una

y subdivida todos los bordes. El gráfico resultante es bipartito y, por lo tanto, tiene dos colores, pero obviamente tiene el gráfico completo como menor.

K_{k}

$K_{k}$

— Luke Mathieson

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Lovasz encontró obstrucciones topológicas para k-colorabilidad y usó su teoría para resolver la conjetura de Knaser. Su teorema es el siguiente. Sea G un gráfico conectado, y sea N (G) un complejo simplicial cuyas caras son subconjuntos de V que tienen vecinos comunes. Entonces, si N (K) está conectado a k (es decir, todos sus grupos de homología reducida son 0 hasta la dimensión k-1), entonces el número de colores necesarios para colorear G es al menos k + 3.

— Gil Kalai
fuente

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No tener un gran conjunto independiente puede ser tan importante como tener una gran camarilla.

Una obstrucción importante para que un gráfico no sea k-colorable es que el tamaño máximo de un conjunto independiente es menor que n / k, donde n es el número de vértices. Esta es una obstrucción muy importante. Por ejemplo, implica que un gráfico aleatorio en G (n, 1/2) tiene un número cromático al menos n / log n.

Una obstrucción más refinada es que para cada asignación de pesos no negativos para los vértices no hay un conjunto independiente que capture una fracción de 1/5 (o más) del peso total. Tenga en cuenta que esto también incluye las "obstrucciones sin camarilla". La dualidad LP le dice que esta obstrucción es equivalente a que el "número cromático fraccional" de G sea mayor que k.

También hay obstáculos para la colorabilidad k de una naturaleza diferente que a veces van más allá de la barrera del número cromático fraccional. Les dedicaré una respuesta por separado.

— Gil Kalai
fuente

¡Gracias por tu respuesta! Los pesos de unión de obstrucción más refinados y los conjuntos independientes son extremadamente interesantes ...

— Giorgio Camerani

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$G$ $\chi(G)=k+1$

$G$ $\chi(G)\ge k$ $G$ $k-1$

— David Eppstein
fuente

¡Gracias! Esto es definitivamente 100% adecuado. Se ajusta perfectamente a la reformulación de la pregunta.

— Giorgio Camerani