Algoritmos de espacio de registro en gráficos con ancho de árbol acotado

El ancho del árbol mide qué tan cerca está un gráfico de un árbol. Es NP-difícil calcular el ancho del árbol. El algoritmo de aproximación más conocido logra factor. $O(\sqrt{{\log}n})$

El teorema de Courcelle establece que cualquier propiedad de gráficos definibles en lógica monádica de segundo orden (MSO2) se puede decidir en tiempo lineal en cualquier clase de gráficos de ancho de árbol acotado . Un artículo reciente mostró que el teorema de Courcelle todavía se mantiene cuando el "tiempo lineal" se reemplaza por el "espacio de registro". Sin embargo, esto no resuelve la complejidad espacial del isomorfismo gráfico en gráficos con ancho de árbol acotado. El resultado más conocido lo coloca en LogCFL.

¿Hay otros problemas que son:

NP-hard (o no se sabe que está en P) en gráficos generales, y
se sabe que se puede resolver en tiempo lineal / polinómico en gráficos con ancho de árbol acotado, y
¿NO se sabe que está en LogSpace?

— Shiva Kintali
fuente

¿Cuál es la

mencionada en el factor de aproximación?

n

$n$

— gphilip

es el número de vértices en el gráfico de entrada.

n

$n$

— Shiva Kintali

Podemos, en general, hacerlo mejor que

en el ancho de árbol aproximado. El mejor algoritmo de aproximación de tiempo polinómico que conozco logra un

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

factor de aproximación, donde

es el ancho del árbol del gráfico. Ver Feige, Hajiaghayi y Lee,Algoritmos de aproximación mejorados para separadores de vértices de peso mínimo, STOC 2005.

O (\sqrt{\log w})

$O(\sqrt{\log w})$

w

$w$

— gphilip

El polinomio de Tutte es un ejemplo.

Esta es una generalización del polinomio cromático , que en sí mismo es un problema # P-difícil en cualquier formulación razonable. En

Evaluación del polinomio de Tutte para gráficos de ancho de árbol acotado , SD noble, combinatoria, probabilidad y computación, 1998,

se da un algoritmo de tiempo polinómico donde la complejidad del tiempo es aproximadamente , donde es el ancho del árbol es el número de nodos. Las obras relacionadas se pueden ver aquí . Para una encuesta, hay un artículo sobre Arxiv , donde se discutió el problema de complejidad en la sección 8. $O(f(k)n^{4+\epsilon})$ $k$ $n$

Parece que el problema no puede expresarse directamente en MSO2, aunque no estoy familiarizado con las definiciones detalladas ... ¡Espero que este problema sea lo que necesita!

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fuente

¿Cuál es la función f?

— Michael Blondin

Según el documento, es una función en

k

$k$ con orden sobre

O (2^{(k^{3 + ϵ})})

$O(2^{(k^{3+\epsilon})})$ .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Makowski dice que "todos los polinomios de grafos estudiados en la literatura son definibles por SOL", y ofrece una formulación del polinomio de Tutte en términos de SOL, página 15 de "De un zoológico a una zoología: hacia una teoría general de polinomios de grafos". En "Usos algorítmicos del teorema de Feferman-Vaught", extiende el teorema de Courcelle para mostrar la capacidad de seguimiento de polinomios definibles por SOL en gráficos de ancho de árbol acotado.

— Yaroslav Bulatov