Un parámetro gráfico posiblemente relacionado con el ancho del árbol

Estoy interesado en gráficos en $n$ vértices que se pueden producir a través del siguiente proceso.

1. Comience con un gráfico arbitrario $G$ en $k\le n$ vértices. Etiquete todos los vértices en como no utilizados .$G$
2. Producir un nuevo gráfico mediante la adición de un nuevo vértice , que está conectado a uno o más no utilizados vértices en , y no está conectado a ningún usadas vértices en . Etiqueta como no utilizada .$G'$$v$$G$$G$$v$
3. Rotula uno de los vértices en al cual está conectado como se usa .$G'$$v$
4. Establezca en y repita desde el paso 2 hasta que contenga vértices.$G$$G'$$G$$n$

Llame a estos gráficos "gráficos de complejidad " (disculpas por la vaga terminología). Por ejemplo, si es un gráfico de complejidad 1, es una ruta.$k$$G$$G$

Me gustaría saber si este proceso ha sido estudiado anteriormente. En particular, para arbitrario , ¿ es NP completo para determinar si un gráfico tiene complejidad ?$k$$k$

Este problema aparece algo similar a la cuestión de si es un parcial -tree , es decir, tiene treewidth . Se sabe que determinar si tiene un ancho de árbol es NP-completo. Sin embargo, algunos gráficos (estrellas, por ejemplo) pueden tener un ancho de árbol mucho más pequeño que la medida de complejidad discutida aquí.$G$$k$ $k$$G$$k$

4 de octubre de 2012: pregunta publicada en MathOverflow después de que no hubo una respuesta concluyente después de una semana (aunque gracias por la información sobre los flujos causales).

Aunque hemos conversado sobre esto en persona anteriormente, agregaré esto con la esperanza de que esto permita que otra persona brinde una respuesta completa.

En su proceso de agregar vértices, defina una función parcial de cada vértice v que se usa, al vértice que se agregó cuando v se usó. Entonces resulta que f es una función de flujo (causal) (p. 39), que es una versión restringida de una cubierta de ruta. De hecho, su descripción de estos gráficos de "complejidad k " (dado un conjunto de vértices que serán los vértices inicialmente no utilizados y los vértices finales no utilizados) es precisamente la descomposición en estrella de una "geometría" con un flujo causal (p. 46 del artículo anterior).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Aunque estos "flujos causales" se han estudiado principalmente en el contexto de la computación cuántica (basada en la medición), donde están motivados por ciertas estructuras de circuitos unitarios, existen resultados teóricos gráficos sobre ellos que están totalmente divorciados de la computación cuántica:

Puntos finales del módulo de unicidad : los gráficos con "complejidad  " son precisamente aquellos para los que existen conjuntos (posiblemente intersectados) S , T ⊆ V ( G ) , ambos de tamaño k , de modo que G tiene exactamente una cubierta de ruta de tamaño k cuyas rutas comenzará en S y terminar en T .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Gráficos extremos : un gráfico en vértices que tiene "complejidad k " tiene como máximobordes.$n$$k$$kn - \binom{k+1}{2}$

Usando estos resultados, y dado un par de conjuntos de candidatos , determinar si "subtenden" o no una cubierta de ruta única de esta manera puede determinarse en el tiempo ; pero encontrar si tales conjuntos de puntos finales existen o no es la dificultad aparente, y el resultado extremo anterior (que es solo una condición necesaria) parece representar el estado del arte en criterios eficientes para determinar si tales conjuntos existen.$S,T$$O(k^2 n)$

Todos los gráficos de complejidad tienen ancho de ruta como máximo k . En cada paso, el conjunto de nodos no utilizados es un separador que separa los nodos utilizados de los ya creados. Entonces, en cada paso, cuando agrega un vértice, puede crear una bolsa que contenga ese vértice más todos los vértices no utilizados y conectar la bolsa al final de la descomposición del camino. Esta será una descomposición de ruta válida.$k$$k$

Debido a "qué está conectado" en los puntos 3 y 2, el ancho de ruta puede ser mucho menor que k . No estoy seguro de decidir si G es una complejidad k , pero como dice Niel, debe haber una cubierta de ruta de tamaño k, pero no solo una cubierta de ruta, las rutas deben ser inducidas. Y entre los caminos podemos tener este patrón de zig-zag. En f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) tiempo podemos calcular una descomposición de ruta óptima, luego podemos usar esta descomposición para hacer una programación dinámica mientras hacemos un seguimiento de los diferentes segmentos de estos $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$rutas, a qué ruta pertenecen y el orden de los segmentos que pertenecen a la misma ruta. Y para cada par de segmentos que pertenecen a diferentes rutas solo necesitamos conocer la primera y la última ruta del zig-zag.

Por lo tanto, creo que podemos decidir si una gráfica tiene complejidad en el tiempo f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) .$k$$f(k) \cdot poly(n)$