¿Cuál es la definición correcta de

Como dice el título, ¿cuál es la definición correcta de -tree? Hay varios documentos que hablan de k -Los árboles y parcial k -Árboles como definiciones alternativas para gráficos con treewidth acotada, y he visto muchas definiciones aparentemente incorrectas. Por ejemplo, al menos un lugar define k- árboles de la siguiente manera:$k$$k$$k$$k$

Un gráfico se llama -tree si y solo si G es el gráfico completo con k vértices, o G tiene un vértice v con grado k - 1, de modo que G ∖ v es un k -tree. Un k -tree parcial es cualquier subgrafo de un k -tree.$k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

Según esta definición, se puede crear el siguiente gráfico:

1. Comience con un borde , un árbol de 2 .$(v_1, v_2)$$2$
2. Para , cree un vértice v i y hágalo adyacente a v i - 1 y v i - 2 .$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

Hacer esto crearía una tira de cuadrados con diagonales. Del mismo modo, podemos comenzar a crear una banda desde el primer cuadrado en una dirección ortogonal a la tira de arriba. Entonces, tendríamos la primera fila y la primera columna de una cuadrícula n × n . Rellenar la cuadrícula es fácil creando vértices y uniéndolos a los vértices que están arriba y a la izquierda.$n$$n \times n$

El resultado final es un gráfico que contiene una cuadrícula , que, en efecto, se sabe que tiene un ancho de árbol n .$n\times n$$n$

Una definición correcta de árboles tiene que ser la siguiente:$k$

Un gráfico se llama -tree si y solo si G es un gráfico completo con k vértices, o G tiene un vértice v con grado k - 1, de modo que el vecino de v forma una k -clique, y G v es un k -tree.$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

Luego, no se puede crear el gráfico en forma de cuadrícula descrito anteriormente.

¿Estoy en lo correcto?

Básicamente estoy de acuerdo contigo, con solo una pequeña modificación:

Un gráfico $G$ es un árbol $k$ si y solo si $G$ es un gráfico completo con $k+1$ vértices, o $G$ tiene un vértice $v$ tal que la vecindad (abierta) de $v$ forma una $k$ -clique, y $G - v$ es unárbol$k$ .

En otras palabras, $v$ debe tener un grado $k$ , en lugar de $k-1$ en su definición.

Personalmente prefiero la definición de abajo hacia arriba, pero esto es solo una cuestión de gustos:

• El gráfico completo en $k+1$ vértices es un $k$ -tree.
• A $k$ -tree $G$ con $n+1$ vértices ( $n\ge k+1$ ) puede ser construido a partir de un $k$ -tree $H$ con $n$ vértices mediante la adición de un vértice adyacente a exactamente $k$ vértices que forman una $k$ -clique en $H$ .
• Ningún otro gráfico es $k$ árboles.

Esta definición es una versión ligeramente modificada de la definición de las notas de clase de Pinar Heggernes .